Forum:  Ringe
Thema: Beweis maximales Ideal
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Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
Themenstart: 2021-02-23 22:25

Hallo an die Runde,
zur Vorbereitung bearbeite ich grad eine Aufgabe, wo mir leider die Idee zum Beweis fehlt:

fed-Code einblenden

Ich hoffe, ihr könnt mir Tipps geben, wie ich an eine Lösung zu der Aufgabe gelange :)


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1300
Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-24 06:44
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,

Homomorphismussatz bzw. Isomorphismussätze ist schon nicht schlecht. Bei dir ist übrigens ein Tippfehler, es ist $J_a = a \mathbb{Z}[x] + (x-a) \mathbb{Z}[x] = (p, x-a)_{\mathbb{Z}[x]}$.

Der Quotient ist $R/J_a \cong \mathbb{F}_p$.
\(\endgroup\)

Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 18:51

Danke dir für deine Antwort.
Die Idee hatte ich auch schon, einfach die Koeffizienten auf die Restklassenelemente abzubilden. Aber es hat zumindest mit meiner Rechnung nicht ganz geklappt.

Bezüglich des Tippfehlers. Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler. Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\). Kannst du mir erklären, wo da ein Fehler sein könnte ?


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1300
Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-24 19:10
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler. Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\). Kannst du mir erklären, wo da ein Fehler sein könnte ?

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)

Dann Tippfehler im Buch ;-) Dieses $J_a$ is kein Ideal in $R$ (es scheitert an der Skalarmultiplikation).
\(\endgroup\)

Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-24 19:13

Okay, dann hoffe ich, dass es wirklich ein Tippfehler war. Aber du hast durchaus Recht, es würde (zumindest aus meiner Sicht) sonst auch keinen großen Sinn ergeben.

Dann vielen liebe Dank :)


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 750
Beitrag No.5, eingetragen 2021-02-25 00:01

@Banana

Was Kezer im Beitrag 1 geschildert hat (und was du auch glauben würdest) gilt recht allgemein, s. Triceratops' Antworten in dieser Diskussion.


Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07 16:30

Noch mal eine kurze Rückmeldung. Die Aufgabe wurde auch außerhalb des Buches gestellt und zwar in der gleichen Form. Demnach hab ich etwas angezweifelt, dass es wirklich ein Tippfehler ist. Daher hier meine Idee:

fed-Code einblenden

Haut denn mein Gedankengang so hin ?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2104
Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-07 17:06

2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Bezüglich des Tippfehlers. Ich hab es genau so aus dem Buch, also eigentlich kein Tippfehler.

Aus welchem Buch denn? In Elementare Algebra und Zahlentheorie von Stroth/Waldecker steht die Aufgabe auf Seite 48 auf jeden Fall richtig:



Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07 17:13

Richtig, die Aufgabe wollte ich gerne bearbeiten. Meinst du, meine Lösungsidee haut hin ?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2104
Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-07 17:22

2021-03-07 17:13 - Banana in Beitrag No. 8 schreibt:
Richtig, die Aufgabe wollte ich gerne bearbeiten.

Du hattest doch oben noch gesagt, in deinem Buch stünde die Aufgabe anders:

2021-02-24 18:51 - Banana in Beitrag No. 2 schreibt:
Es steht explizit da, dass \(J_a=p*\IZ+(x-a)*\IZ\).


Banana
Junior
Dabei seit: 12.01.2021
Mitteilungen: 20
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07 17:27

Manchmal hat man Tomaten auf den Augen, das war ein Fehler meinerseits. Es geht um die Aufgabe, die du dort nochmal angebracht hast. Also nicht um \(\IZ\) sondern um \(\IZ[x]\). Tut mir leid :)



Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1300
Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-08 11:57
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Nein, deine Gedanken ergeben leider nur wenig Sinn.
- Welche Abbildung $\phi$ nimmst du?
- Der Kern ist nie $(x-a)$ (es sei denn $a = 0$).
- Die Isomorphie $\mathbb{Z}[x]/(x-a) \cong \mathbb{Z}/a \mathbb{Z}$ ist immer falsch, es sei denn $a = 0$.
- Der Ring $\mathbb{Z}/a \mathbb{Z}$ ist nicht zwingend ein Integritätsbereich.
- Dein letzter Satz ist in dieser Form kein Argument, wieso sollte das folgen?

Saki17 hat in Beitrag No. 5 einen Thread verlinkt, wo genau die entscheidende Isomorphie erläutert wird.
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-05-12 10:04