Forum:  Lineare Abbildungen
Thema: Verwirrung um Basen bei Darstellungsmatrix
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Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
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Themenstart: 2021-02-26 21:57

Sei $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ mit

$
f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T \\
f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T \\
f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T
$

und als Basen

$
B = ((1, 1, 1)^T, (0, 2, 0)^T, (0, 0, -1)^T) \\
C = ((1, 0)^T, (0, 1)^T)
$

dann ist die Darstellungsmatrix

$
M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)
$

Wenn das soweit stimmt, warum kommt dann nach Anwenden der Darstellungsmatrix auf einen der Vektoren nicht der erwartete Funktionswert heraus?

$
M^B_C(f) \cdot (1, 1, 1)^T = (4, 3)^T \neq (1, 0)^T = f((1, 1, 1)^T)
$


reik
Aktiv
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26 22:55

\(f((0, 2, 0)^T) = (2, 2)^T\) mittlere Spalte multipliziert mit \(2\) ergibt \((2, 2)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
. & \color{green}{1} & .\\
. & \color{green}{1} & .
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(0, 2, 0)^T = (2, 2)^T\)

\(f((0, 0, -1)^T) = (1, 1)^T\) letzte Spalte multipliziert mit \(-1\) ergibt \((1, 1)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
. & 1 & \color{green}{-1}\\
. & 1 & \color{green}{-1}
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(0, 0, -1)^T = (1, 1)^T\)

\(f((1, 1, 1)^T) = (1, 0)^T\) die Summe der drei Spalten ergibt \((1, 0)^T\), d.h. \(\bigl(\begin{smallmatrix}
\color{green}{1} & 1 & -1\\
\color{green}{0} & 1 & -1
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(1, 1, 1)^T = (1, 0)^T\)


Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-26 23:42

Vielen Dank für deine Antwort.

Tut mir leid, aber die Frage war nicht, wie man die Matrix bestimmt, sodass $(1, 0)^T$ rauskommt - sondern warum, wenn man die Darstellungsmatrix anwendet, nicht der Funktionswert rauskommt.


reik
Aktiv
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-27 01:50

Ich habe Dir Unsinn erzählt! Die Darstellungsmatrix \(M^B_C(f) = \bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)\) bildet \(\textbf{die Koordinaten}\) eines Vektors im Urbildraum bzgl. der Basis \( B = \left \{ (1,1,1)^T, (0,2,0)^T, (0,0,-1)^T \right \}\) auf \(\textbf{die Koordinaten}\) eines Vektors im Bildraum bzgl. der Basis \( C = \left \{ (1,0)^T, (0,1)^T \right \}\) ab. Die Koordinaten für den ersten Basisvektor sind \((1,1,1)^T_B = 1\cdot (1,1,1)^T + 0 \cdot (0,2,0)^T + 0 \cdot (0,0,-1)^T = (1, 0,0)^T\) und es folgt \(\bigl(\begin{smallmatrix}
1 & 2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{smallmatrix}\bigr)\cdot(1, 0,0)^T = (1,0)^T\). Bedenke das \((1,0)^T\) die Koordinaten des Bildes bzgl. der Basis C ist, d.h. der Vektor ist \(1\cdot(1,0)^T + 0\cdot(0,1)^T = (1,0)^T_C\). In diesem Sonderfall der Standardbasis sieht man jedoch keinen Unterschied.




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Druckdatum: 2021-05-06 21:29