Forum:  Topologie
Thema: Die reelle projektive Gerade ist homöomorph zum Einheitskreis
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Phoensie
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Themenstart: 2021-03-01 22:25
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Liebe Matheplanetarier

Ich soll zeigen: $P_1(\R)$ ist homöomorph zu $S^1$.

Dabei sind $S^1 = \{x \in \R^2 \mid \|x\|_2 = 1\}$ und $P_1(\R)=(\R^2\setminus \{0\})/\sim$ mit der Äquivalenzrelation $x \sim y \iff \exists \lambda \neq 0 : x = \lambda y$. Die reelle projektive Gerade ist in dem Sinne die Menge aller Äquivalenzklassen $[x]$ modulo $\sim$ von $\R^2 \setminus \{0\}$.

Zu zeigen: $\exists f:S^1 \to P_1(\R)$ bijektiv, stetig, mit $f^{-1}$ stetig.

Zum Beweisansatz:
Sei $X := \R^2 \setminus\{0\}$. Die kanonische Projektion $\pi: X \to P_1(\R),\,x \mapsto [x]$ ist surjektiv und nach Konstruktion der Quotiententopologie stetig auf $P_1(\R)$. $\pi$ bildet Elemente auf deren Äquivalenzklasse modulo $\sim$ ab. Die Einschränkung $\pi:S^1 \to P_1(\R)$ ist ebenfalls stetig. $\R^2$ ist normierter Raum, und so existiert mit der euklidischen Norm $\|\cdot\|_2$ für jedes $[y] \in P_1(\R)$ der Punkt $\frac{y}{\|y\|_2} \in S^1$, sodass $\pi(\frac{y}{\|y\|_2}) = [y]$.

Zwischenresultat:
$\pi: S^1 \to P_1(\R)$ ist stetig und surjektiv.

Wie mache ich hier weiter?

LG Phoensie😄
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 12:11

Mit deinem Ansatz kannst du nur $\mathbb{P}^1(\IR) \cong S^1 / C_2$ zeigen (mit der Gruppenwirkung $x \mapsto -x$). Es soll ja $S^1$ herauskommen.

Erinnere dich an die geometrische Vorstellung von $\mathbb{P}^1(\IR)$. Man hat die reelle affine Gerade $\IR \cong \{[x:0] : x \in \IR\}$ sowie den unendlich fernen Punkt $\infty := [0:1]$. (Es gilt tatsächlich $\lim_{x \to \pm \infty} [x:0]=[0:1]$.) Kannst du dir vorstellen, wie sich die Kreislinie $S^1$ aus einer (verformten) Geraden und einem Punkt zusammensetzen lässt?


helmetzer
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-05 11:15

2021-03-04 12:11 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Man hat die reelle affine Gerade <math>\IR \cong \{[x:0] : x \in \IR\}</math> sowie den unendlich fernen Punkt <math>\infty := [0:1]</math>.
Kannst Du bitte diese Notation erläutern: <math>[x:0]</math>


Triceratops
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-05 16:14

en.wikipedia.org/wiki/Projective_space




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Druckdatum: 2021-05-06 21:15