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Thema: Konjugationsklassen der Diedergruppe
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Matheliebe
Junior
Dabei seit: 13.05.2018
Mitteilungen: 6
Themenstart: 2021-03-02 13:55

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade einfach aus Interesse mit den Diedergruppen und bin über den Beweis zu den Konjugationsklassen der allgemeinen Diedergruppe \(D_{2n}\) gestolpert.
Ich habe unten zwei Bilder eines Beweises angehängt, den ich allerdings noch nicht wirklich verstanden habe.

Wieso komme ich bei Konjugation von \(y^{j}\) mit  \(xy^{i}\) auf \(y^{-j}\)? Und bei der Konjugation von x auf jeweils \(xy^{2i}\)? Ich verstehe hier nicht, wie die Relationen der Diedergruppe angewendet werden...

Den Teil weiter unten, in dem man die Potenzen mod 2 nimmt verstehe ich auch nicht wirklich..

Falls mir hier jemand weiterhelfen und mir das erklären könnte, wäre das wirklich super!

LG😄









th57
Aktiv
Dabei seit: 14.12.2020
Mitteilungen: 45
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02 23:16

Hi,

mit deiner ersten Frage kann ich dir weiter helfen, dafür bemerken wir davor noch, dass in Gruppen gilt \((ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}\), wenn wir also \((xy^i)^{-1}y^j(xy^i)\) betrachten ergibt sich mit der
3. Aussage von oben:
\[(xy^i)^{-1}y^j(xy^i)=y^{-i}x^{-1}y^jxy^i = y^{-i}x^{-1}xy^{-j}y^i = y^{-i}y^{-j}y^i = y^{-j}\] du nutzt also nur aus, dass man \(x\) und \(y\) vertauschen darf auf Kosten des Minus im Exponent. Für die 2. Konjugation genauso.

Zu deiner zweiten Frage, bin ich mir nicht ganz sicher, weil ich mich nicht damit auskenne, was Konjugation überhaupt bedeutet bzw. aussagt, aber noch ein paar kleine Anmerkungen zur Diedergruppe.
Erstens wird nicht \(\mod 2\) genommen, sondern \(\mod n\) und dass macht deswegen Sinn, weil wir ja von oben wissen \(y^n = e\), dh haben wir einen Exponenten \(y^k\) so kann ich das auf jeden Fall darstellen als \(y^k=y^{ln+w}\ l,w\in\mathbb{N}\) nun ist also insgesamt
\[y^k=y^{ln+w} = y^{ln}y^w = (y^{n})^{l}y^w = ey^w = y^w\] das was wir hier gemacht haben ist also nichts anderes also \(k\mod m = w\) zu rechnen. Man hat also nicht beliebig viele Hochzahlen zur Verfügung, sondern nur von \(\{0,\ldots,n-1\}\) und in dem Beweis wird dann eben unterschieden, was passiert, wenn mein \(n\) gerade bzw ungerade ist (aber der Zweck des Ganzen ist mir nicht klar).

LG


Matheliebe
Junior
Dabei seit: 13.05.2018
Mitteilungen: 6
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 11:52

Hallo th57,

vielen lieben Dank für deine Antwort, sie hat mir schon mal sehr weitergeholfen!😄

Jetzt hoffe ich nur, dass es noch jemanden gibt, der das mit den Konjugationsklassen bzw. der Anzahl der Konjugationsklassen verstanden hat...🤔

LG!




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Druckdatum: 2021-05-14 20:58