Forum:  Geometrie
Thema: Apollonius
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ErwinAusB
Junior
Dabei seit: 08.02.2021
Mitteilungen: 10
Wohnort: Niedersachsen
Themenstart: 2021-03-02 15:28

Bei der Beschäftigung mit einem Apollonius-Problem (siehe Abbildung) habe ich durch Probieren herausgefunden, dass die Radien der Folge
a_n=1/(n^2+2) (n=0,1,...) gehorchen und dass die Mittelpunkte auf der Ellipse zu
〖(x-1/4)〗^2+9/8 y^2=(3/4)^2
liegen.
Mit welcher Mathematik kann man das beweisen?

Abbildung:


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2888
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02 16:02

offenbar sind M und K brennpunkte der ellipse ?
dann müsste die summe der beiden blauen längen gleich die summe der pinken betragen
und die eingezeichneten verlängerungen durch den äusseren berührpunkt gehen, also als entsprechende verlängerung r ergeben
sowie die strecke zwischen den einzelnen mittelpunkten auch deinen radius vorgaben entsprechen


haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 2888
Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03 12:04

rückwärts konstruiert, zu jeder ellipse mit einem kreis um F2 welcher den radius F1-F2 hat (rot), kann man verschiedene kreise um F1 legen(weiss) und dann eine kette von sich berührenden zwischenkreise konstruieren welche diese zwei kreise tangieren und alle ihren mittelpunkt auf der ellipse haben

der weisse kreis kann dabei grösser; gleich; oder kleiner sein als der rote, (der weisse kreis muss wohl auch unendlich klein werden können)

das gilt dann auch für deine konstruktion bei welcher der weisse kreis eben doppelt so gross ist wie der rote, diesen also rechts selber tangiert


du fragst nach einer beweismethode, also ich würde hier "geometrie" anführen


haribo


werner
Senior
Dabei seit: 23.10.2004
Mitteilungen: 2146
Wohnort: österreich
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-09 11:42


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Druckdatum: 2021-05-10 09:13