Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Jacobimatrix einer Matrixfunktion
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Junior
Dabei seit: 18.03.2015
Mitteilungen: 16
Themenstart: 2021-03-02 19:59

Hallo zusammen,

ich hoffe ihr könnt mir helfen. In meinem Numerik-Skript gibt es ein Beispiel, in dem die Funktion \(f(X):= X^{-1} - A\) mit \(A,X \in \mathbb{R}^{n\times n}\) definiert wurde. Dann wurde allerdings die Jacobimatrix von \(f\) als Abbildung von \(\mathbb{R}^{n\times n}\) in sich  berechnet als \(f'(X)Y=-X^{-1}YX^{-1}\) mit folgender Herleitung:


Ich bin mir unsicher, ob ich den ersten Schritt davon richtig interpretiert habe. Muss ich mir die Funktion so vorstellen, als wäre sie in \(\mathbb{R}^{n^2}\) in sich selbst definiert? Die Matrix \(Y\) ist in diesem Fall der Input der Funktion, oder? Im Prinzip könnte ich mir die Jacobimatrix dann als \(n^2\times n^2\) - Matrix vorstellen, richtig?

Liebe Grüße
cookies :)


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2726
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-02 23:12
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,

ja, so kannst du es dir vorstellen.

Übrigens wird die Rechnung deutlich übersichtlicher, wenn man die (mehrdimensionale) Produktregel benutzt:
Für endlich-dimensionale Vektorräume $V,W_1,W_2,W$, differenzierbare Abbildungen $f:V\to W_1$, $g:V\to W_2$ und eine bilineare Abbildung $B:W_1\times W_2 \to W$ ($B$ könnte z.B. Matrizenmultiplikation sein), ist die Abbildung $V_1\times V_2\to W,~ X\mapsto B(f(X), g(X))$ differenzierbar und es gilt
$$ [B(f(X),g(X))]'Y = B([f(X)]' Y, g(X)) + B(f(X), [g(X)]'Y). $$
Damit kann man in deinem Beispiel sofort $[Xf(X)]'Y$ ausrechnen, ohne lauter Indizes und Summen zu benötigen.
\(\endgroup\)

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Junior
Dabei seit: 18.03.2015
Mitteilungen: 16
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-02 23:20

Ah, vielen Dank! Das macht es deutlich verständlicher!




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Druckdatum: 2021-05-12 10:01