Forum:  Stetigkeit
Thema: Abschätzung Stetigkeit
Themen-Übersicht
mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Themenstart: 2021-03-03 07:47

Guten Morgen,

ich verstehe die folgende Abschätzung nicht ganz. $f:X\times Y \to Z$ alles normierte Räume mit endlicher Dimension und f linear in beiden Argumenten (und somit stetig bzw. beschränkt, ist ja äquivalent). In einem Beweis haben wir dann die Stetigkeit von f ausgenutzt und die 1. Abschätzung ist mir auch klar, allerdings verstehe ich die 2. nicht - warum kann man die Norm von $\|x\|$ (bzw. dann auch von y) durch die Norm am kart. Produkt abschätzen ?

$\|f(x,y)\|\leq \|f\|\|x\|\|y\| \leq \|f\| \|(x,y)\|\|(x,y)\|$ , $x\in X,y\in Y$.

Bzw. welche Norm am kart. Produkt ist damit denn gemeint ?

Besten Dank schon mal!


mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 07:55

Wenn da noch eine Konstante C dabei stehen würde, dann würde ich es verstehen, da man ja die Normäquivalenz auf endlich-dim. Räumen verwenden könnte. Und wie ich das gerade sehe, würde damit der Beweis ebenso funktionieren. Wurde diese Konstante also möglicherweise einfach unterschlagen bzw. ohne Einschränkung auf 1 gesetzt ? 😃

oder man hat einfach als Norm am kart. Produkt das Max. der beiden Normen genommen und dann mit der Norm-Äquivalenz argumentiert...🤔


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1300
Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03 08:37
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Hi,

wie habt ihr denn die Norm auf Produkte normierter Räume definiert? Es ist $$\|(x,y) \| := \|x \| + \|y \| \geq \max(\|x \|, \|y \|). $$
\(\endgroup\)

mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 08:46

Hi,

die haben wir eben nicht definiert - aber durch ein wenig Recherche findet man ja ein paar Sachen. Danke für deine Antwort, mit der von dir angegebenen Norm wäre quasi die Konstante ja auch 1, da $\|f\|\|x\|\|y\| \leq \|f\|(\|x\|+\|y\|)(\|y\|+\|x\|) = \|f\|\|(x,y)\|^2$.

Beim Beweis wo die oben angegebene Ungleichung auftritt, ist es imo auch egal, mit welcher Norm man am kart. Produkt arbeitet, da die alle äquivalent sind und die von dir angegebene Norm erfüllt ihren Zweck, danke dir.

Grüße

P.S. soweit ich das bisher sehe, gilt eigentlich eh immer: $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ für bel. $x\in X,y\in Y$.

Schönen Tag noch 🙂


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1300
Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-03 09:32
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
2021-03-03 08:46 - mathematikerlein in Beitrag No. 3 schreibt:
Beim Beweis wo die oben angegebene Ungleichung auftritt, ist es imo auch egal, mit welcher Norm man am kart. Produkt arbeitet, da die alle äquivalent sind und die von dir angegebene Norm erfüllt ihren Zweck, danke dir.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)

Dazu kann ich nichts sagen, da ich den Beweis nicht kenne.

2021-03-03 08:46 - mathematikerlein in Beitrag No. 3 schreibt:
P.S. soweit ich das bisher sehe, gilt eigentlich eh immer: $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ für bel. $x\in X,y\in Y$.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)

Das hängt natürlich davon ab, welche Norm man auf $X \times Y$ wählt. Aber wie erwähnt definiert man üblicherweise $\|(x,y) \| = \|x \| + \|y \|$.

Dir auch einen schönen Tag :)
\(\endgroup\)

mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 09:42

Hi,

Danke ! :)

Ich hab nun mehrere Normen im Internet gefunden, die man beim kartesischen Produkt verwendet hat (also die von dir angegebene Norm, dann $\|(x,y)\| = (\|x\|^p + \|y\|^p)^{1/p}$ oder $ \|(x,y)\| = max\{\|x\|,\|y\| \}$ etc.) und in all diesen Fällen gilt ja $\|x\| \leq \|(x,y)\|$ - nur daher kam meine Vermutung, dass diese Ungleichung immer gilt :)

Grüße


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1300
Beitrag No.6, eingetragen 2021-03-03 10:07
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}\)
Wenn $\|- \|$ eine Norm ist und $A$ ein Isomorphismus auf dem Vektorraum, dann ist $\|A- \|$ auch eine Norm. Insbesondere kann man z.B. $\|(x,y) \| := \frac{1}{42} \|x \| + \frac{1}{42} \| y \|$ definieren.
\(\endgroup\)

mathematikerlein
Aktiv
Dabei seit: 23.06.2020
Mitteilungen: 72
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 10:16

Hi,

Aha ok danke, fein. 🙂 Dann verwende ich die von dir angegebene Norm weiter oben.

Grüße




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=252655=4049
Druckdatum: 2021-05-11 18:45