Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Reihenkonvergenz
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lalala0000
Aktiv
Dabei seit: 28.12.2020
Mitteilungen: 42
Themenstart: 2021-03-03 08:36

Hallo liebe Community!
Könnte mir vlt jemand helfen zu entscheiden ob folgende Aufgaben richtig oder falsch sind:


Bei a) wäre meine Vermutung falsch, da in der Angabe nur steht, dass an kleiner als an-^2 ist.... Ein Gegenbeispiel wäre zum Beispiel (1/n) die Vorgaben (Nullfolge und an<=an-1^2) sind erfüllt aber sie konvergiert eben nicht...

Bei b): Dank der raschen Hilfe alles klar!
Hätte jemand einen Tipp/Korrektur?
Vielen lieben Dank schon einmal!


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2104
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-03 09:11

2021-03-03 08:36 - lalala0000 im Themenstart schreibt:
Ein Gegenbeispiel wäre zum Beispiel (1/n) die Vorgaben (Nullfolge und an<=an-1^2) sind erfüllt aber sie konvergiert eben nicht...

Das ist kein Gegenbeispiel, da $\frac1n\le\bigl(\frac1{n-1}\bigr)^2$ nicht erfüllt ist. (Beispielsweise ist nicht $\frac13\le\frac14$.)

2021-03-03 08:36 - lalala0000 im Themenstart schreibt:
Bei b) erkenne ich, dass es sich um eine Teleskopreihe handeln könnte, dies ist aber erst ab einem gewissen Indizes N, für n>=N der Fall....

Was meinst du damit? Es ist eine Teleskopreihe für alle $n$. Daher kannst du die Summe bis zu einem Index $k$ einfach ausrechnen und schauen, ob sie konvergiert.

--zippy


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-03 09:21
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Zu (b):
Sei $(a_n)_{n \in \N}$ konvergent mit Grenzwert $A$. Lass uns zuerst einmal die $N$-te Partialsumme mittels Teleskopieren betrachten:
\[
\sum_{n=1}^N \Big( f(a_{n+1}) - f(a_n) \Big)
= f(a_{N+1}) - f(a_1)
\] Die Reihe ist dann der Grenzwert dieses Ausdrucks für $N \to \infty$:
\[
\sum_{n=1}^\infty \Big( f(a_{n+1}) - f(a_n) \Big)
= \lim_{N \to \infty} \Big(f(a_{N+1}) - f(a_1)\Big).
\] Der Limes einer Summe existiert, wenn die Grenzwerte der Summanden existieren. Der hintere Term ergibt im Grenzwert $f(a_1)$, da der Term nicht von $N$ abhängt. Für den vorderen Term nutzen wir den Fakt, dass für stetige Funktionen wir Funktion und Limes "vertauschen" dürfen (siehe Folgenkriterium für Stetigkeit):
\[
\lim_{N \to \infty} f(a_{N+1}) = f \left( \lim_{N \to \infty} a_{N+1}\right) = f(A).
\] Damit dürfen wir den Limes auf die Summanden "verteilen" und erhalten als Schlussresultat:
\[
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \Big( f(a_{n+1}) - f(a_n) \Big)
&= \lim_{N \to \infty} \Big(f(a_{N+1}) - f(a_1)\Big) \\
&= \lim_{N \to \infty} f(a_{N+1}) - \lim_{N \to \infty} f(a_1) \\
&= f(A) - f(a_1).
\end{align*}
\]
Mache dir insbesondere klar, dass Grenzwerte von Summen nur dann existieren, wenn die Grenzwerte der Summanden existieren.😉 (Bei der Epsilontik in den Beweisen ist das zuweilen etwas verwirrend am Anfang, aber es lohnt sich, diese zu studieren und zu verstehen).

LG Phoensie

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-03 09:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Zu (a): Betrachte mal zwei aufeinander folgende Folgenglieder $a_n$ und $a_{n-1}$ mit dem Cauchy-Kriterium für hinreichend grosses $n$, und nutze, dass deine Folge eine Nullfolge ist.
\(\endgroup\)

lalala0000
Aktiv
Dabei seit: 28.12.2020
Mitteilungen: 42
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 09:55

Vielen lieben Dank für die raschen Antworten. Bei b) ist jetzt alles klar geworden! :)
Bei a) stimmt es natürlich, dass 1/n kein geeignetes Gegenbeispiel ist, deswegen versuche ich mich mal am Tipp mit dem Cauchykrit.:
für alle E>0 exist. N: n,m>=N: |an-am|<E
Da an eine Nullfolge ist, ist die Folge auch sicher eine Cauchyfolge mit dem Grenzwert 0: |an-am|<=|an|+|am|, bei Betrachtung von an und an-1: =|an|+|an-1|<=2|an-1|<E da Nullfolge...

Hab ich hier schon den falschen Weg eingeschlagen?
Mir fehlt irgendwie die Einsicht, wie ich durch das Cauchykrit. von Folgen auf die Konvergenz der Reihe schließen kann, da dort ja eigene Kriterien existieren, und die Eigenschaft der Nullfolge ja nicht hinreichend sondern nur notwendig für die Konvergenz der Reihe ist...


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6798
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-03 10:56
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-03-03 09:55 - lalala0000 in Beitrag No. 4 schreibt:
Bei a) stimmt es natürlich, dass 1/n kein geeignetes Gegenbeispiel ist, deswegen versuche ich mich mal am Tipp mit dem Cauchykrit.:
für alle E>0 exist. N: n,m>=N: |an-am|<E
Da an eine Nullfolge ist, ist die Folge auch sicher eine Cauchyfolge mit dem Grenzwert 0: |an-am|<=|an|+|am|, bei Betrachtung von an und an-1: =|an|+|an-1|<=2|an-1|<E da Nullfolge...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Die Ungleichung

\[\left|a_n-a_{n-1}\right|\le \left|a_n\right|+\left|a_{n-1}\right|\le 2\left|a_n\right|<\varepsilon\]
ist noch nicht ganz richtig (der Grundgedanke dahinter aber schon). Beachte, dass du eine gegebene Eigenschaft der Folge \(a_n\) bisher nicht verwendet hast...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
\(\endgroup\)

lalala0000
Aktiv
Dabei seit: 28.12.2020
Mitteilungen: 42
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 11:52

Vielen Dank!
Bzgl. der Ungleichung müsste
|an−an−1|≤|an|+|an−1|≤2|an-1|<ε eig schon gelten, da ja max(an,an-1)=an-1 ist oder?
Aber ich glaube ich verstehe deinen Punkt, dass ich eine Eigenschaft nicht verwendet habe nämlich:
|an−an−1|≤|an|+|an−1|≤|an−1|^2+|an−1|<ε

Wie ich das weiter abschätzen kann, um auf die Konvergenz der Reihe zu schließen ist mir aber nach wie vor nicht wirklich klar...
Danke auf jeden Fall schon einmal für die bisherige Hilfe, bin jetzt schon ein ganzes Stück weiter!


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6798
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-03 12:05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

2021-03-03 11:52 - lalala0000 in Beitrag No. 6 schreibt:
Vielen Dank!
Bzgl. der Ungleichung müsste
|an−an−1|≤|an|+|an−1|≤2|an-1|<ε eig schon gelten...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ich war da vorhin etwas vorschnell (zu wenig Kaffee...), sorry. Fange das nochmal neu an, was Phoensie vorgeschlagen hat. Betrachte also

\[\left|a_n-a_{n-1}\right|\]
und schätze jetzt direkt mit der geforderten Eigenschaft \(a_n\le a_{n-1}^2\) nach oben ab. Dann noch zwei, drei Umformungen und eine weitere Abschätzung, und du hast die Konvergenz dastehen.

Dreiecksungleichung o.ä. benötigt man hier nicht.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2104
Beitrag No.8, eingetragen 2021-03-03 13:50

Führt nicht der Vergleich mit einer geometrischen Reihe leichter zum Ziel? Wegen $a_n\to0$ gibt es einen Index $N$ mit $a_N<1$. Aus $a_n\le a_{n-1}^2$ folgt dann $a_n\le\hbox{const}\cdot a_N^n$.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6798
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-03 14:05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
@zippy:
2021-03-03 13:50 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Führt nicht der Vergleich mit einer geometrischen Reihe leichter zum Ziel? Wegen $a_n\to0$ gibt es einen Index $N$ mit $a_N<1$. Aus $a_n\le a_{n-1}^2$ folgt dann $a_n\le\hbox{const}\cdot a_N^n$.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

'leichter' ist vermutlich Geschmacksache. Schneller aber definitiv. 😉


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

shipwater
Aktiv
Dabei seit: 27.03.2010
Mitteilungen: 490
Wohnort: Karlsruhe
Beitrag No.10, eingetragen 2021-03-03 14:38

Oder direkt auf das Quotientenkriterium verweisen, da $\frac{a_n}{a_{n-1}} \leq a_{n-1} \to 0$.

Gruß Shipwater


lalala0000
Aktiv
Dabei seit: 28.12.2020
Mitteilungen: 42
Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-03 17:28

Vielen lieben Dank! Jetzt ist alles klar geworden!




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Druckdatum: 2021-05-12 10:03