Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: Vereinigung, Schnitt und eine exakte Sequenz von Idealgarben
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Saki17
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Themenstart: 2021-03-03 14:40
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo,

zunächst einige Notationen. Sei $X$ ein Schema. Für ein abgeschlossenes Unterschema $Y$ bezeichnen wir $\I_Y$ die Idealgarbe, die zu $Y$ korrespondiert, und $i_Y$ die abg. Immersion $Y\to X$.

Nun seien $Y, Z$ zwei abg. Unterschemata von $X$. Meine Frage ist, was $\mathcal{F}$ sein soll in der exakten Sequenz der $\O_X$-Moduln
$$ 0\to \I_{Y\cup Z}\to \I_Y\to \mathcal{F}\to 0.$$ Wir erinnern uns, dass die (schema-theoretische) Vereinigung $Y\cup Z$ zum Ideal $\I_Y\cap \I_Z$ und den Schnitt $Y\cap Z$ zum $\I_Y+\I_Z$ korrespondieren. Schaut man affin-lokal, etwa $X=\spec A$, sollte man die gefragte Exaktheit auf die elementare exakte Sequenz $$0\to I\cap J\to I\to I/(I\cap J)\to 0$$ von $A$-Moduln zurückführen, wobei $Y=V(I), Z=V(J)$. Allerdings bin ich nicht sicher, welcher $\O_X$-Modul $\mathcal{F}$ dem $A$-Modul $I/(I\cap J)$ entspricht...

Nachtrag. Damit die Antwort eindeutiger wird, sollte ich die Frage umformulieren. Jemand schreibt, dass $\mathcal{F}=i_{Z,*}\I_{Y\cap Z}$ zur exakten Sequenz passt. Aber ich kann das nicht sehen, stimmt es wirklich?
\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 11:47

Die erste Frage verstehe ich nicht ganz. Alles was du da affin-lokal aufschreibst, gilt genauso global (und nicht einmal nur für Schemata, sondern für beliebige lokalgeringte Räume). Vielleicht hast du vergessen, dass man Quotienten auch für Garben bilden kann? Es ist $I_{Y \cup Z} = I_Y \cap I_Z$ und daher $I_Y / I_{Y \cup Z} = I_Y / (I_Y \cap I_Z)$. Wenn man möchte, kann man das noch zu $(I_Y + I_Z)/I_Z$ umschreiben. Weiter vereinfachen kann man das nicht.

Zur zweiten Frage: Die Notation $(i_Z)_* I_{Y \cap Z}$ ergibt keinen Sinn, weil $I_{Y \cap Z}$ nicht auf $ Z$, sondern auf $X$ definiert ist. Vielleicht ist $(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z}$ gemeint. Nun gilt aber $I_{Y \cap Z} = \sqrt{I_Y + I_Z}$ und allgemein $(i_Z)_* (i_Z)^* M = M \otimes \mathcal{O}_X/I_Z = M/I_Z M$, daher hat man $(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z} = I_{Y \cap Z}/I_Z I_{Y \cap Z} = \sqrt{I_Y + I_Z}/I_Z \sqrt{I_Y + I_Z}$, was mir nicht wie $(I_Y + I_Z)/I_Z$ aussieht.

Hast du Annahmen an $Y,Z,X$ vergessen?


Saki17
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 20:21
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Erstmal danke. Ich möchte den Hintergrund etwas klären, bevor ich zu deiner Antwort komme.

Es geht um eine exakte Sequenz von Garben bzw. $\O_X$-Moduln im Beweis von Serres Kriterium zu affinen Schemata (s. [Hartshorne, III.3.7] oder [Bosch, AG, 7.7/10]). Sei $X$ ein (nichtleeres) noethersches (oder qc) Schema sodass ein abg. Punkt $x\in X$ existiert. Sei $U$ eine affine offene Umgebung von $x$ und $Y:=X\setminus U$ das abg. Unterschema. Dann hat man eine exakte Sequenz (Notation wie am Anfang)
$$0\to \I_{Y\cup\{x\}}\to\I_Y\to \kappa(x)\to 0,$$ wobei $\kappa(x)$ die Wolkenkratzer-Garbe mit Träger in $x$ bezeichnet. Wenn ich die Notation richtig verstanden habe, dann ist dies nicht anders als der Quotient $\O_X/\I_{\{x\}}$.

Nun will ich die obige exakte Sequenz auf beliebige abg. Unterschema $Z\subset X$ anstatt einpunktige verallgemeinern. Wie geht das? Lässt sich der rechteste Term $\mathcal{F}$ in der anfänglichen kurzen exakten Sequenz als Pushforward von irgendwas schreiben?  

(Wenn nicht anders gesagt, sollen abg. Unterschemata mit der reduzierten Struktur versehen sein.)
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Saki17
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 23:40
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
2021-03-04 11:47 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Die erste Frage verstehe ich nicht ganz. Alles was du da affin-lokal aufschreibst, gilt genauso global (und nicht einmal nur für Schemata, sondern für beliebige lokalgeringte Räume). Vielleicht hast du vergessen, dass man Quotienten auch für Garben bilden kann? Es ist $I_{Y \cup Z} = I_Y \cap I_Z$ und daher $I_Y / I_{Y \cup Z} = I_Y / (I_Y \cap I_Z)$. Wenn man möchte, kann man das noch zu $(I_Y + I_Z)/I_Z$ umschreiben. Weiter vereinfachen kann man das nicht.

Zur zweiten Frage: Die Notation $(i_Z)_* I_{Y \cap Z}$ ergibt keinen Sinn, weil $I_{Y \cap Z}$ nicht auf $ Z$, sondern auf $X$ definiert ist. Vielleicht ist $(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z}$ gemeint. Nun gilt aber $I_{Y \cap Z} = \sqrt{I_Y + I_Z}$ und allgemein $(i_Z)_* (i_Z)^* M = M \otimes \mathcal{O}_X/I_Z = M/I_Z M$, daher hat man $(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z} = I_{Y \cap Z}/I_Z I_{Y \cap Z} = \sqrt{I_Y + I_Z}/I_Z \sqrt{I_Y + I_Z}$, was mir nicht wie $(I_Y + I_Z)/I_Z$ aussieht.
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Im Prinzip erledigt diese Rechnung meine Fragen.

Übrigens habe ich meine letzte Post viel korrigiert und die Frage vorsichtiger formuliert.

Beobachtung. Wenn $\I_Y+\I_Z=\O_X$, dann hat man die gewünschte Gleichheit $$(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z}=I_Y / I_{Y \cup Z}.$$ Und dies ist auch der Fall wenn $Z=\{x\}$ ist.
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Druckdatum: 2021-05-06 21:16