Forum:  Lineare Unabhängigkeit
Thema: Linear unabhängige und orthogonale Vektoren
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GaussGauss
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Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
Themenstart: 2021-03-04 09:53

Hallo,
ist es denn immer möglich zu einem festen Vektor $x\in\mathbb{R}^n$ n-1 viele linear-unabhängige (das ist auf jeden Fall noch möglich) und zu $x$ orthogonale Vektoren zu finden ?

Grüße


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3226
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 10:07

Hallo GaussGauss,

ja, das ist immer möglich. Wenn $x=0$ ist, dann nimm die ersten $n-1$ Standardbasisvektoren. Die sind linear unabhägig und orthogonal auf $x$. Wenn $x\neq 0$ dann kannst du eine Basis finden, die $x$ enthält und diese mit dem Gram-Schmidt-Verfahren orthogonalisieren.


GaussGauss
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 13:05

Hi ochen,

ok danke dir für die schnelle Antwort. Das heißt aber, um diese Menge an linear unabhängigen und zu x orthogonalen Vektoren angeben zu können, braucht man schon x als explizit gegeben, verstehe ich das richtig ? Ich weiß in dem Fall nämlich nur ganz allgemein, dass $x=(x_1,...,x_n)^t \in \mathbb{R}^n$ gilt, kenne x aber nicht explizit. Dass es aber so eine Menge an Vektoren gibt, reicht mir für die Aufgabe.

Danke und Grüße 🙂


Phoensie
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Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-04 15:39
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Lieber GaussGauss

Ja, das ist richtig. Wenn du einen Vektor $0 \neq x=(x_1,\ldots,x_n) \in \R^n$ gegeben hast (also die $x_i$ kennst), dann kannst du zur Konstruktion einer orthogonalen Basis des $\R^n$ wiefolgt vorgehen:

(1) Betrachte die Standardbasis $\{e_1,\ldots,e_n\}$ des $\R^n$ mit $e_i=(0,\ldots,0,\underbrace{1}_{i},0,\ldots,0)$.

(2) Wenn $x \not\equiv 0$ ist, dann ist mindestens eine Vektorkomponente von null verschieden. Angenommen, $x_i \neq 0$. Ersetze dann den $i$-ten Standardbasisvektor mit deinem Vektor. Die so erhaltene Vektorfamilie ist nach dem Austauschlemma von Steinitz immer noch eine Basis des $\R^n$.

(3) Orthogonalisiere deine Vektorfamilie mit Hilfe von Gram-Schmidt. Ist die Normierung nicht gewünscht, kannst du diese weglassen.

(4) Die so konstruierte Familie von $n$ Vektoren ist dann eine orthogonalisierte Basis des $\R^n$.

LG Phoensie
\(\endgroup\)

GaussGauss
Aktiv
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 66
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 20:26

Hi,
Danke für die Antwort ! :) dann komm ich da in meinem Fall eh nicht weiter, trotzdem danke !

Grüße




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Druckdatum: 2021-05-11 19:50