Forum:  Matrizenrechnung
Thema: Geometrische Deutung einer Abbildungsmatrix
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WilliW
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Themenstart: 2021-03-04 17:27

Hallo,
ich habe eine Frage zu der folgenden Aufgabenstellung:

Die Matrix habe ich versucht auf den Vektor (x,y,z)^T an zu wenden, um zu sehen, was mit den einzelnen Komponenten passiert. Leider habe ich keine Idee, was die Abbildung geometrisch bedeutet. Für z würde ich sagen eine Spiegelung an der z-Achse, und für x eine Drehung, dass es auf y-Koordinate kommt und y auf die z-Koordinate. Aber mich stören die -1.
Ich würde mich über Eure Hilfe freuen!
Viele Grüße
WilliW


Nuramon
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 17:51

Hallo,

Tipp: Spiegelungen, Drehungen und Streckungen sind winkeltreue Abbildungen.


WilliW
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 17:55

D.h. es ist keine winkeltreue Abbildung?


Nuramon
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-04 17:56

Das könntest du überprüfen.


WilliW
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 17:58

Und wie kann man sowas überprüfen? Das Skalarprodukt von (x,y,z)^T und (-z,x-z,y-z)^T ist nicht sinnvoll oder?


Nuramon
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-04 18:04
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ja, das hilft nicht weiter, denn das macht eine Aussage über den Winkel zwischen $v$ und $f(v)$. Winkeltreu heißt aber, dass für alle $v,w$ der Winkel zwischen $v$ und $w$ gleich dem Winkel zwischen $f(v)$ und $f(w)$ ist.

Überlege dir am besten, ob die Abbildung rechte Winkel erhält.
\(\endgroup\)

WilliW
Aktiv
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:06

ich würde sagen nein, vor allem wegen der -1 en.


Nuramon
Senior
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-04 18:08
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Kannst du zwei orthogonale Vektoren $v,w\in\IR^3$ angeben, deren Bilder nicht orthogonal sind?
\(\endgroup\)

WilliW
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:12

Ich finde nur orthogonale. Also müssten die rechten Winkel erhalten bleiben.


Nuramon
Senior
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Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-04 18:18

Bei linearen Abbildungen lohnt es sich meistens anzusehen, wie die Abbildung auf einer Basis operiert.

Nimm dir die Standardbasis (die ist sogar eine Orthonormalbasis) und schau dir deren Bild an.


WilliW
Aktiv
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:22

fed-Code einblenden



Wally
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Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-04 18:23

Man könnte natürlich die Eigenwerte berechnen - oft  kann man daraus schon wichtige Informationen ablesen.

Viele Grüße

Wally

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


Nuramon
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Beitrag No.12, eingetragen 2021-03-04 18:24

Wird die Standardbasis auf eine Orthogonalbasis abgebildet?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]


WilliW
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Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:25

Eigenwerte sind -1, i und -i
-1 sagt etwas darüber aus, dass es gespiegelt wurde oder?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


WilliW
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:27

Es ist danach keine Orthogonalbasis


Wally
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Beitrag No.15, eingetragen 2021-03-04 18:43
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Ganz gut, an was wird denn gespiegelT?

Und \( \pm i\) hat doch auch eine geometrische Bedeutung.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

WilliW
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Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:47

an der z-Achse?
i und -i könnten für eine Drehung stehen?


Nuramon
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Beitrag No.17, eingetragen 2021-03-04 18:48

2021-03-04 18:27 - WilliW in Beitrag No. 14 schreibt:
Es ist danach keine Orthogonalbasis
Damit bist du fertig. Warum?

@Wally: Die Matrix ist nicht symmetrisch. Daher kann ich deinen Ansatz nicht nachvollziehen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


WilliW
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Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 18:51

Es werden keine rechten Winkel erhalten d.h. die Abbildung ist nicht winkeltreu d.h. es wäre keine Spiegelung, keine Drehung und keine Streckung. Aber ich verstehe noch nicht so ganz, was es kann sein kann.


Wally
Senior
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Beitrag No.19, eingetragen 2021-03-04 18:59
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
@ Nuramon: Man kann doch auch bei nicht-symmetrischen Matrizen invariante Teilräume finden.

@ Willi: Raten hilft hier nicht.

Stell dir mal eine Abbildung vor, die sowas macht:

\( \vec{e}_1\mapsto \vec{e}_2 \), \( \vec{e}_2\mapsto -\vec{e}_1 \),
\( \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\mapsto -\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\)

Das ist eine Drehung in der x-y-Ebene und eine Spiegelung an der Ebene mit \( \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\) als Normalenvektor. Allerdings muss man einen beliebigen Vektor vorher passend zerlegen und die Bilder danach wieder zusammensetzen.

Viele Grüße

Wally

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]
\(\endgroup\)

Nuramon
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Beitrag No.20, eingetragen 2021-03-04 19:02

Wally und ich haben die Aufgabe wohl unterschiedlich verstanden.

Ich habe "Kombination" als Verknüpfung verstanden. Die Antwort wäre dann also, dass es sich um keine der genannten Optionen handelt.


WilliW
Aktiv
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Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 19:35

@Nuramon vielen Dank! :)

@Wally ich danke die auch für deine Hilfe! :)
       ich verstehe nicht, wie man sich die Spiegelung an der genannten
       Ebene vorstellen kann... Kannst du mir das bitte erklären?


Wally
Senior
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Beitrag No.22, eingetragen 2021-03-04 20:02
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Im Unterrraum \( V=\lambda \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\) ist die Abbildung die Spiegelung am Ursprung, was wohl eine bessere Idee ist als an einer Ebene zu spiegeln.

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

WilliW
Aktiv
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Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 20:06

Okay danke! :) Macht die Matrix die genannte Drehung und Spiegelung?




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Druckdatum: 2021-05-15 01:58