Forum:  Vektorräume
Thema: Vektorräume bei gegebener Definition bestimmen
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Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
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Themenstart: 2021-03-04 19:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Wundert euch nicht, das, was da drüber steht wollte ich einfach mal zur Vollständigkeit mit drinnen lassen.
Also, es geht mal um 5) a).
Wenn ich diese Schreibweise ausformulieren müsste, dann würde ich es wie folgt machen:
Die Vektoren \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) befinden sich in einem dreidimensionalen Raum, wobei der Vektor \(x_1\) gleich dem Vektor \(x_3\) ist.
Und jetzt soll ich die Vektoren addieren bzw. mit einer Zahl multiplizieren, dann schauen, ob sie immer noch im \(\mathbb{R}^3\) sind?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 19:35
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

bei der 5a) lassen sich ja alle Vektoren so schreiben: \((x_1,x_2,x_1)^T\).

Und ja: da musst du jetzt nachrechnen, dass die UVR-Axiome erfüllt sind. Eigentlich sieht man es hier ja schon durch scharfes Hinsehen...


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von Diophant]
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-04 20:18
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Nachtrag:
Jetzt wird mir hier dein eigentliches Missverständnis klar:

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 19:31 - Spedex im Themenstart schreibt:
Die Vektoren \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) befinden sich in einem dreidimensionalen Raum, wobei der Vektor \(x_1\) gleich dem Vektor \(x_3\) ist.
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Die Zahlen \(x_i\) sind keine Vektoren, sondern Skalare aus dem zugrundeliegenden Körper \((\IR,+,\cdot)\).

Die Vektoren in der Aufgabe 5a) haben die Gestalt \((x_1,x_2,x_3)\) bzw. \((x_1,x_2,x_3)^T= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \).

Mit denen musst du hier arbeiten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 21:07
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo,
wie zeige ich denn dann mittels Addition / Multiplikation, dass der Vektor ein Vektor im \(\mathbb{R}^3\) bleibt?

Einfach so:
\[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+y_1\\x_2+y_2\\x_3+y_3\end{pmatrix}\] \[\lambda\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\cdot x_1\\\lambda \cdot x_2\\\lambda \cdot x_3\end{pmatrix}\] Es bleibt also \(\mathbb{R}^3\), aber sonderlich mathematisch ist das nicht, was ich da mache...
Da kann man jetzt halt noch \(x_1\) mit \(x_3\) tauschen und anders herum.
Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.4, eingetragen 2021-03-04 21:10
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

genau: du musst einfach noch \(x_1=x_3\) verwenden, dich entspannt zurücklehnen und einsehen, dass die Summe und das Produkt aus Skalar und Vektor wieder von der Form \((x_1,x_2,x_1)^T\) sind und damit die Unterraumkriterien erfüllt sind.

Welcher Vektor muss denn nach diesen Kriterien in jedem Untervektorraum enthalten sein?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-03-04 21:29

Hallo Spedex,

deine Frage erinnert mich an meinen aller-allerersten Thread, den ich hier auf dem Matheplaneten vor über 11 Jahren erstellt habe, und weswegen ich mich damals im Forum überhaupt registiert habe. 🙂 Vielleicht hilft dir das zusätzlich zu Diophants Antworten weiter: LinkTeilmengen, Teilräume

Grüße,
PhysikRabe


Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 21:32
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, verstehe.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-03-04 21:10 - Diophant in Beitrag No. 4 schreibt:
Welcher Vektor muss denn nach diesen Kriterien in jedem Untervektorraum enthalten sein?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Redest du von einem Nullvektor, in der Form \(\ds \begin{pmatrix}0\\0\\\dots\\0\end{pmatrix}\)?

Liebe Grüße
Spedex

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-03-04 21:34
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-04 21:32 - Spedex in Beitrag No. 6 schreibt:
Redest du von einem Nullvektor, in der Form \(\ds \begin{pmatrix}0\\0\\\dots\\0\end{pmatrix}\)?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Genau! Der Nullvektor ist Element von jedem Untervektorraum! 👍

Falls du dich schon ein wenig mit der Gruppentheorie auskennst: das entspricht exakt der Tatsache, dass das neutrale Element einer Gruppe auch Element jeder Untergruppe ist. Denn Vektoren bilden ja bzgl. der Addition im Vektorraum eine Gruppe.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 21:53

Hallo, mit der Gruppentheorie habe ich mich noch nicht beschäftigt (beschäftigen müssen), kommt sicher aber recht bald.
Zur b)
"Rechnerisch" geht ja eigentlich genau gleich.
Grafisch hätte ich es dann wie folgt dargestellt:


Liebe Grüße
Spedex


Diophant
Senior
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Beitrag No.9, eingetragen 2021-03-04 21:55

Hallo,

die Darstellung ist für die 5b) sinngemäß richtig. Und: UVR, ja oder nein?


Gruß, Diophant


Spedex
Aktiv
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 22:01

Hallo, ja, ich würde natürlich schon sagen.

Liebe Grüße
Spedex


Diophant
Senior
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Beitrag No.11, eingetragen 2021-03-04 22:02

Hallo,

nein, das stimmt leider nicht. Versuche, ein Gegenbeispiel zu finden. Außerdem: ist der Nullvektor in der Menge bei 5b) enthalten?


Gruß, Diophant


Spedex
Aktiv
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 22:16

Hm, dann habe ich da aber was falsch verstanden, und tue es immer noch.
Ich dachte es geht darum, dass der Vektor bei der Addition mit einem anderen Vektor oder Multiplikation mit einem Wert die "Dimension" nicht verändert. Und das ist doch auch bei der Frage b) der Fall...

Liebe Grüße
Spedex


Diophant
Senior
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Beitrag No.13, eingetragen 2021-03-04 23:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

2021-03-04 22:16 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Hm, dann habe ich da aber was falsch verstanden, und tue es immer noch.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja: da solltest du mal die eine oder andere Lektüre dazu befragen.

2021-03-04 22:16 - Spedex in Beitrag No. 12 schreibt:
Ich dachte es geht darum, dass der Vektor bei der Addition mit einem anderen Vektor oder Multiplikation mit einem Wert die "Dimension" nicht verändert. Und das ist doch auch bei der Frage b) der Fall...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein. Jeder Vektor eines Untervektorraums muss ja dessen Mengendefinition erfüllen. In diesem Fall also die Ungleichheit \(x_1\neq x_2\).

Dafür lassen sich leicht Gegenbeispiele finden. Letztendlich reicht es hier aber aus, wenn man feststellt, dass der Nullvektor nicht enthalten ist.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
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Beitrag No.14, eingetragen 2021-03-04 23:28
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Damit eine Teilmenge $U \subseteq V$ eines $\mathbb{K}$-Vektorraums $V$ den Namen Untervektorraum verdient, muss $U$ drei Dinge erfüllen:

(Axiom1) Der Nullvektor muss in $U$ enthalten sein.
(Axiom2) Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition
(Axiom3) Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation

In Formelnotation:
(Axiom1) $0 \in U$
(Axiom2) $u_1,u_2 \in U \implies u_1+u_2 \in U$
(Axiom3) $u \in U, \lambda \in \mathbb{K} \implies \lambda u \in U$

Beim Prüfen von Untervektorraum-"Kandidaten" empfiehlt es sich, immer zuerst den Nullvektor in der Menge zu suchen. Ist er nicht vorhanden (so wie bei #5b), dann brauchst du den Rest gar nicht beachten und kannst bereits ein Urteil fällen.

LG Phoensie.
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 09:36
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Aha, ok.
Abgesehen von dem Nullvektor wäre vermutlich ein weiteres Gegenbeispiel:
\[\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\] Und bei \(\ds \begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\) gilt nicht \(x_1\neq x_2\).

Danke schonmal für die Aufklärung.
Zu c)
Hier ist \(x\) einfach der Nullvektor, oder?
Das heißt zur Überprüfung addiere ich den Nullvektor mit einem anderen Vektor und ich multipliziere den Nullvektor mit einem Faktor. Kann dieser andere Vektor beim Addieren irgendein Vektor sein, oder nehmen wir da schon an, dass es auch ein Nullvektor ist. Dann würde ja mein Gegenbeispiel zu b) nicht passen...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.16, eingetragen 2021-03-05 10:19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-05 09:36 - Spedex in Beitrag No. 15 schreibt:
Aha, ok.
Abgesehen von dem Nullvektor wäre vermutlich ein weiteres Gegenbeispiel:
\[\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\] Und bei \(\ds \begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\) gilt nicht \(x_1\neq x_2\).
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Genau. Also: das ist kein Untervektorraum. 👍

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-05 09:36 - Spedex in Beitrag No. 15 schreibt:
Zu c)
Hier ist \(x\) einfach der Nullvektor, oder?
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Richtig. Der Nullvektor ist hier der einzige Vektor, für den die Gleichung gilt. Ist der Nullvektor ein Vektorraum? Prüfe, ob er die Kriterien erfüllt...

Nachtrag: das war von meiner Seite aus Blödsinn, sorry. Mit der Multiplikation ist hier das Skalarprodukt gemeint, da musst du also nochmal neu überlegen.

Was Phoensie in #14 schreibt, ist nicht falsch, sondern durchaus üblich. Beachte den Unterschied zu eurer Variante. Dort ist die Forderung, dass der Nullvektor enthalten sein muss, nicht mit angegeben. Mache dir klar, dass und warum diese Forderung aus den beiden bei euch geforderten Kriterien folgt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 12:37
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, vielen Dank schonmal.

Zu der Frage d)
Da schwanke ich irgendwie, weil ich mir bei der Definition unsicher bin.
Der Vektor muss ja eine der beiden Voraussetzungen erfüllen:
Entweder \(x_1=x_3\) oder \(x_1\neq x_2\)
Also als Beispiel:
\[\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\] Hier gilt jetzt für den resultierenden Vektor \(x_1=x_3\) aber nicht \(x_1\neq x_2\). Ist die Voraussetzung für einen Untervektorraum trotzdem erfüllt?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.18, eingetragen 2021-03-05 13:08
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

Tipp zur d): finde auch hier ein geeignetes Gegenbeispiel. Ist ein bisschen schwieriger, daher als Tipp: nimm einen Vektor, der beide Forderungen erfüllt und einen geeigneten Vektor, der nur \(x_1\neq x_2\) erfüllt. Betrachte deren Summe.

Nachtrag: du interpretierst das 'oder' hier falsch. Wenn in der Mathematik nichts anderes gesagt wird, dann ist das Wort 'oder' stets als inklusives oder zu verstehen. 'A oder B' ist demnach wahr, wenn A wahr oder B wahr oder A und B beide wahr sind.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1297
Beitrag No.19, eingetragen 2021-03-05 13:41

In c) soll wahrscheinlich das Skalarprodukt gemeint sein, also gibt es durchaus mehr Möglichkeiten als den Nullvektor.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6780
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Beitrag No.20, eingetragen 2021-03-05 13:58

@Kezer:
2021-03-05 13:41 - Kezer in Beitrag No. 19 schreibt:
In c) soll wahrscheinlich das Skalarprodukt gemeint sein, also gibt es durchaus mehr Möglichkeiten als den Nullvektor.

Ja, da hast du recht. Das war mein Fehler, das ergibt aber als Skalarprodukt interpretiert viel mehr Sinn.


Gruß, Diophant


Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
Mitteilungen: 982
Wohnort: Wien / Bayern
Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 16:13
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Ok, zu d) habe ich, wie Diophant es schon gesagt hat, ein Gegenbeispiel gefunden.

Allerdings vermute ich bei c), dass es ein Untervektorraum ist. Jetzt muss ich das aber ja noch irgendwie zeigen, oder nicht?
Ein Beispiel fällt einem da ja leicht ein, aber das hat ja nicht die gleiche Wirkung wie ein Gegenbeispiel...

Es muss gelten:
\[x_1+3x_2=0\] Bzw. muss gelten:
\[x_2=-\frac{x_1}{3}\]
Dann gilt:
\[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}=0\]
Wenn man zwei Vektoren von dieser Art zusammenaddiert, dann klappt das mit dem resultierenden Vektor ebenfalls, gleiches gilt bei der Multiplikation mit einem Faktor, nur das muss man vermutlich jetzt zeigen.

Ich wäre das vielleicht so angegangen:

Ich weiß, es ist ein Bild, das ist nicht so gut, wenn es wirklich nötig ist tippe ich es in \(\LaTeX\) ab, aber ansonsten wäre es echt ein großer Aufwand.

Was sagt ihr zu meine "Nachweis"?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 6780
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.22, eingetragen 2021-03-05 16:53

Hallo Spedex,

c) ist jetzt richtig.

magst du uns dein Gegenbeispiel bei der d) noch zeigen? 😉


Gruß, Diophant


Spedex
Aktiv
Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.23, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 17:05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hallo, sehr gut.

Mein Gegenbeispiel hätte wie folgt ausgesehen:
\[\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}\]
Zu e)
Ich vermute auch hier gibt es den Untervektorraum. Allerdings möchte ich das natürlich wider zeigen.
Anders als bei der c), habe ich jetzt aber mehrere Definitionen für \(x_2\).
Einerseits (Def. 1):
\[\frac{x_1}{2}\leq x_2\] Und andererseits (Def. 2):
\[x_2\leq\frac{3}{2}x_1\] Außerdem habe ich hier ja \(\leq\) und nicht \(=\), da heißt, wenn ich die "Randpunkte" überprüfe, heißt das ja noch nicht, dass es für alle dazwischen auch gilt.
Sollte das Überprüfen der Randpunkte ausreichen, würde ich halt die Addition mit den drei verschiedenen Fällen durchführen. Also:
Def. 1 + Def. 2
Def. 1 + Def. 1
Def. 2 + Def. 2
Gleiches gilt für die Mulitplikation:
\(\lambda\cdot\)Def. 1
\(\lambda\cdot\)Def. 2

Ist zwar etwas mühsam, aber würde an sich gehen, wie gesagt, unter der Voraussetzung, dass alle Punkte dazwischen mit in begriffen sind.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.24, eingetragen 2021-03-05 17:22
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-05 17:05 - Spedex in Beitrag No. 23 schreibt:
Mein Gegenbeispiel hätte wie folgt ausgesehen:
\[\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}\]
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Ja, so in der Art hatte ich das gemeint. Kann man mit paarweise verschiedenen \(a\), \(b\) und \(c\) auch machen:

\[\begin{pmatrix}a\\b\\a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b\\a\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\a+b\\a+c\end{pmatrix}\]
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)2021-03-05 17:05 - Spedex in Beitrag No. 23 schreibt:
Zu e)
Ich vermute auch hier gibt es den Untervektorraum...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)

Nein, hier vermutest du falsch. Schon deine komplizierten und mit einigen Fragezeichen versehenen Überlegungen hätten dir das nahelegen sollen. Natürlich reichen bspw. die Randpunkte nicht, denn die Definition muss stets für alle Vektoren gelten.

Finde auch hier wieder ein Gegenbeispiel aus zwei Vektoren, von denen einer die erste und der andere die zweite Ungleichungskette erfüllt.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Dabei seit: 19.03.2020
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Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 19:05
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, meinst du mit "zweiter Ungleichungskette" diese hier:
\[-x_1\leq -2x_2\leq -3x_1\] Hierbei finde ich nicht einen einzigen positiven Wert für \(x_1\) und \(x_2\), welcher die Ungleichung erfüllt. Ich bekomme es nur mit negativen Werten zusammen. Und dann passt der resultierende Vektor...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.26, eingetragen 2021-03-05 19:59
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

suche mal nach einem Vektor \(v_2\), so dass die Summe

\[\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+v_2\]
keine der beiden Ungleichungsketten erfüllt.



Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 20:06
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, wieso hat dein Beispielvektor jetzt drei Einträge, es handelt sich doch um \(\mathbb{R}^2\)?
Und wenn man deinen Vektor auf \(\mathbb{R}^2\) "reduziert", in der Form:
\[\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\] Dann erfüllt dieser auch keine der beiden Ungleichungsketten...
Täusche ich mich?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.28, eingetragen 2021-03-05 20:16
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

sorry, mein Fehler. Daher hier eine brauchbare Variante:

\[\bpm 2\\1 \epm-\bpm 1\\2 \epm=\bpm 2\\1 \epm+(-1)\cdot\bpm 1\\2 \epm=\bpm 1\\-1 \epm\]
Die Vektoren \(\bpm 2\\1 \epm\) und \(\bpm 1\\2 \epm\) erfüllen jeweils eine der Ungleichungsketten, das Ergebnis nicht.

(Hier kommen jetzt einfach beide UVR-Kriterien zum Einsatz.)


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 20:41
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)}\)
Hm, aber welche Ungleichungskette wir denn von \(\ds \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) erfüllt?

Die Erste:
\[1\leq 2\cdot 2\leq 3\cdot 1\] Wird nicht erfüllt.

Die Zweite:
\[-1\leq -2\cdot 2\leq -3\cdot 1\] Wird auch nicht erfüllt.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Diophant
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Beitrag No.30, eingetragen 2021-03-05 20:47
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Spedex,

ok. Jetzt aber:

\[\bpm 3\\2 \epm-\bpm 2\\3 \epm=\bpm 1\\-1 \epm\]
Sorry, ich habe heute etwas juristischen Ärger wegen eines verunglückten Online-Kaufs an der Backe. Das verträgt sich mit Mathematik offensichtlich nicht so gut...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Spedex
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Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 21:10

Hallo, sehr gut.

Vielen Dank und alles gute bei deinem Problem!


Liebe Grüße
Spedex




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Druckdatum: 2021-05-10 09:20