Forum:  Funktionalanalysis
Thema: Nichtvollständiger Raum (Analysis)
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servus1991
Junior
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 13
Themenstart: 2021-03-04 22:02

Gegenbeispiel. Es sei $V$ der Raum aller reellen Zahlenfolgen $a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right)$ mit $a_{i} \neq 0$ für nur endlich viele Indices i. Ein Skalarprodukt auf $V$ ist gegeben durch $\langle a, b\rangle:=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} b_{k} .$ Wir setzen $a^{(n)}:=(1,1 / 2,1 / 3, \ldots, 1 / n, 0,0,0, \ldots) .$ Dann ist $\left(a^{(n)}\right)$
eine Cauchyfolge in $V$, die aber nicht in $V$ konvergiert.



Hallo,
hier sollte ein Gegenbeispiel für eine Cauchy-Folge in V  sein, aber der Vektorraum V ist nicht vollständig, denn diese Cauchy Folge konvergiert nicht in V, (also der Grenzwert liegt nicht in V) .
ich habe hier zwei Fragen:

1)  Die erste Frage, ist sie eine Cauchyfolge?, denn $$ d\left(a_{m}, a_{n}\right) \rightarrow 0 \text { für } m, n \rightarrow \infty
$$  Aber wie definiere diese Metrik, wir sind doch in einem Skalarproduktraum, was macht dann dieses Skalarprodukt!!!? wie benutze es ,um zu zeigen , dass sie eine Cauchfolge ist?

ist so richtig ? $d\left(a_{k}, b_{k}\right)$  = $ \sqrt{\langle a_{k}-b_{k}, a_{k}-b_{k}\rangle}:= \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} (a_{k}-b_{k})^2 } \rightarrow 0 \text { für } k \rightarrow \infty$



2)  Die zweite Frage, ist der Grenzwert die Nullfolge also (0,0,0,0, 0,………) ? deswegen liegt dieser Grenzwert nicht in V , denn dieser Grenzwert ist Null für alle Indices i also( mit $a_{i} = 0$ für Nicht nur endlich viele Indices i)  ?? !!

Ich freue mich über jede Antwort.




Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1201
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-04 22:13
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Hallo servus1991,

1) Skalarprodukte definieren eine Norm, und damit eine Metrik. Nämlich ist die Norm $\Vert x\Vert:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$, und dann ist die Metrik $d(x,y):=\Vert x-y\Vert$. In diesem konkreten Fall ist also $\Vert a\Vert=\sqrt{\sum_{k=0}^\infty a_k^2}$.

2) Die Vervollständigung dieses Raums ist der Raum $\ell^2$ der quadratsummierbaren Folgen, also Folgen $a_k$ mit $\sum_{k=0}^\infty a_k^2<\infty$. In diesem Raum wäre der Grenzwert der genannten Folge ganz schlicht die Folge $b_k=\frac 1k$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

servus1991
Junior
Dabei seit: 17.06.2020
Mitteilungen: 13
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-04 22:56

Hallo Vercassivelaunos,

vielen Dank für Deine Antwort ,

nur eine kleine Frage , wie bist auf den Grenzwert bk=1/k gekommen ? ist dieser Grenzwert von (1/m - 1/n) rausgekommen

viele grüße


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1201
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-05 08:37
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Wie man drauf kommt, war bei mir erstmal reine Intuition: Der Grenzwert der Folgen, bei denen immer ein Glied der Form $\frac1k$ mehr dazu kommt, ist die Folge, bei der alle Glieder der Form $\frac1k$ da sind. Zu beweisen, dass sie tatsächlich der Grenzwert ist, ist dann standard:

\[\Vert (a^{(n)})-(b)\Vert=\sqrt{\sum_{k=0}^\infty (a^{(n)}_k-b_k)^2}=\sqrt{\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k^2}}.\]
Außerdem ist $\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k^2}$ das Restglied der Reihe $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2}$, die bekanntermaßen konvergiert. Das Restglied muss dann gegen 0 konvergieren. Die Wurzel des Restgliedes entsprechend auch. Also gilt $\Vert (a^{(n)})-(b)\Vert\to0$, und damit $(a^{(n)})\to (b)$.
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-05-12 09:21