Forum:  Maßtheorie
Thema: Verallgemeinerte Cantormenge
Themen-Übersicht
Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Themenstart: 2021-03-05 16:16
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Liebe Matheplanetarier

Sei $0 < a < 1$. Ich möchte eine allgemeine Cantormenge $\mathcal{C}_a$ konstruieren mit Lebesguemass $\operatorname{Vol}(\mathcal{C}_a)=a$. Ich konnte zeigen, dass die gewöhnliche Cantormenge Lebesguemass $\mathcal{C}=0$ hat.

Mein Ansatz:
Sei $0<a<\frac{1}{3}$. Sei $A_0:=[0;1]$. Ausgehend hiervon bilde man eine absteigende Folge $A_0 \supset A_1 \supset A_2 \supset \ldots$; $A_n$ entstehe aus $A_{n-1}$ wie folgt: Sind $p_1,\ldots,p_s$ die Mittelpunkte der Intervalle, deren Vereinigung $A_{n-1}$ ist, so definiere
\[
    \begin{align*}
        A_n := A_{n-1} \setminus \bigcup_{k=1}^{2^{n-1}} \left( p_k - \frac{a^n}{2} \, ; \, p_k + \frac{a^n}{2} \right).
    \end{align*}
\] Definiere dann
\[
        \mathcal{C}_a := \bigcap_{n=0}^\infty A_n.
\] Mit Nachrechnen erreiche ich jedoch
\[
\begin{align*}
            \operatorname{Vol}(\mathcal{C}_a)
            &= \operatorname{Vol}(A_0) - \operatorname{Vol}(A_0 \setminus \mathcal{C}_a) \\
            &= 1 - \operatorname{Vol}(A_0 \setminus \mathcal{C}_a) \\
            &= 1 - \operatorname{Vol}\left( \bigsqcup_{n=0}^\infty \bigsqcup_{k=1}^{2^{n-1}} \left( p_k - \frac{a^n}{2} \, ; \, p_k + \frac{a^n}{2} \right)\right)
            \\
            &= \frac{1-4a}{2-4a}
        \end{align*}
\]
Wie korrigiere ich meinen Ansatz, sodass das Gewünschte rauskommt?
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 426
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-05 18:04

Hallo Phoensie,

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-03-05 16:16 - Phoensie im Themenstart schreibt:
Mit Nachrechnen erreiche ich jedoch
\[
\begin{align*}
            \operatorname{Vol}(\mathcal{C}_a)
            &= \operatorname{Vol}(A_0) - \operatorname{Vol}(A_0 \setminus \mathcal{C}_a) \\
            &= 1 - \operatorname{Vol}(A_0 \setminus \mathcal{C}_a) \\
            &= 1 - \operatorname{Vol}\left( \bigsqcup_{n=0}^\infty \bigsqcup_{k=1}^{2^{n-1}} \left( p_k - \frac{a^n}{2} \, ; \, p_k + \frac{a^n}{2} \right)\right)
            \\
            &= \frac{1-4a}{2-4a}
        \end{align*}
\]
\(\endgroup\)

Ich denke das Ergebnis ist nicht richtig. Es muss doch \(\operatorname{Vol}(C_0)=1\) und \(\operatorname{Vol}(C_{\frac{1}{3}})=0\) sein (klassische Cantor-Menge). Die Vereinigung beginnt wohl eigentlich erst bei \(n=1\). Ich hatte dann \(\frac{1-3a}{1-2a}\) raus (\(0\leq a\leq\frac{1}{3}\)), was auch besser zu den oben genannten Eigenschaften passt.

Gibst Du Dir nun ein \(b\in[0,1]\) vor, so kannst Du \[\operatorname{Vol}(C_a)=\frac{1-3a}{1-2a}=b\] eindeutig nach \(b\) auflösen, erhältst also \(a(b)\in[0,\frac{1}{3}]\) mit \(\operatorname{Vol}(C_{a(b)})=b\). Wenn Du nun \(C_b':=C_{a(b)}\) setzt, dann hast du eine allgemeine Cantormenge mit \(\operatorname{Vol}(C_b')=b\).


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 429
Wohnort: Muri AG, Schweiz
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-05 22:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
2021-03-05 18:04 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Vereinigung beginnt wohl eigentlich erst bei \(n=1\).
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)

Das klingt sehr einleuchtend (schliesslich nimmt man im $0$-ten Schritt ja eigentlich noch gar nichts weg). Danke dir für den Hinweis. Ich werde mir deine Überlegung genauer anschauen und nachzuvollziehen versuchen.

In der Zwischenzeit merke ich an, dass (wenn ich mich nicht erneut vertan habe) das Konstrukt, wenn man anstatt wie bei der Cantormenge im $n$-ten Schritt mittlere Teile der Länge $\frac{1}{3^n}$ nun im $n$-ten Schritt mittlere Teile der Länge $\frac{1-a}{3^n}$ entfernt, ebenfalls dann zum gewünschten Ziel führen sollte.😉

Gruss Phoensie
\(\endgroup\)



Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=252697=4039
Druckdatum: 2021-05-12 10:07