Forum:  Mengenlehre
Thema: Kartesisches Produkt von Mengenfamilien
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katzenfreak
Junior
Dabei seit: 01.03.2021
Mitteilungen: 5
Themenstart: 2021-03-05 21:19

Hallo,

ich melde mich noch einmal bzgl. einer Beweises, der mir in Sachen Notation etwas unklar ist. Gefragt wird nach einem Beweis für folgende Identität:

\({\bigcap_{\alpha}A_{\alpha}}\times{\bigcap_{\beta}B_{\beta}}\)=\({\bigcap_{\alpha,\beta}A_{\alpha}\times}B_{\beta}\)

Mein bisheriger "Beweis" gestaltet sich wie folgt:



In dieser Form wird der Beweis wohl nicht korrekt sein, insbesondere, weil mir keine brauchbare Definition der Vereinigung eines Mengensystems in den Sinn gekommen ist. Daher habe ich, etwas von Verzweiflung getrieben, fed-Code einblenden in fed-Code einblenden umgeschrieben.

Wie lässt sich der Beweis also sinnvoll führen und welche Definition der Vereinigung eines Mengensystems findet dabei Anwendung?

Danke im Voraus,

katzenfreak


tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2048
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06 00:39
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
Der Durchschnitt einer Mengenfamilie $(A_\alpha)_{\alpha \in I}$ ist so definiert, dass
$$x \in \bigcap_{\alpha \in I} A_\alpha \iff \forall \alpha \in I.\, x \in A_\alpha.$$ Und für eine doppelt indizierte Mengenfamilie $(C_{\alpha,\beta})_{\alpha\in I, \beta\in J}$ haben wir
$$x \in \bigcap_{\alpha \in I, \beta \in J} C_{\alpha,\beta} \iff \forall \alpha \in I, \beta \in J.\, x \in C_{\alpha,\beta}.$$
\(\endgroup\)

katzenfreak
Junior
Dabei seit: 01.03.2021
Mitteilungen: 5
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-06 21:32

@tactac

Danke! Nur ist mir immer noch unklar, wie ich mit dieser Definition einen schlüssigen Beweis führen kann...

Eine weitere Unklarheit: Laut meinem Lehrbuch durchlaufen die Indizes \(\alpha\) und \(\beta\) in der doppelt indizierten Menge das Kartesische Produkt der Indexmengen \(I \times J\).

Hat jemand eine Idee oder Anregung für diesen Beweis?
Zuhilf...

LG,
katzenfreak


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5576
Wohnort: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-06 21:45

LinkWie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann




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Druckdatum: 2021-05-06 20:34