Forum:  DGLen 1. Ordnung
Thema: Lyapunov-Funktion angeben
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Jabaa2
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Dabei seit: 04.03.2021
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Themenstart: 2021-03-05 22:29

Hallo,

ich habe zwar schon DGL geschrieben, aber ich habe eine Frage die mich trotzdem sehr interessiert hat, welche ich in einer Altklausur gefunden habe, aber nicht beantworten konnte:

fed-Code einblenden

Also weiß da jemand eine Lyaunov-Funktion. Ich habe lange dran rumprobiert und habe nix gefunden. Noch eine Frage:

fed-Code einblenden

Hier hatte ich alles geschafft außer (c) Ich dachte es würde mit einer Lyapunov-Funktion gehen, aber ich habe es nicht geschafft zu zeigen, dass L eine Lyapunov-Funktion zu g ist. Auch wenn ihr nur eine der Aufgaben wisst mich würden die Lösungen interessieren. Aber mehr die erste Aufgabe ;)

Viele Grüße


haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1682
Wohnort: Bochum
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-07 13:45

Hallo,

zu Deiner ersten Frage:
Da würde zum Beispiel $V(x,y)=x^2+y^2$ als Lyapunvfunktion funktionieren mit  $V'(x(t),y(t))=-8x(t)^2-6x(t)^3+8x(t)^4-4y(t)^2$, was in einer Umgebung von $(x,y)=(0,0)$ strikt negativ ist und damit auf asymptotische Stabilität führt.

Das ist natürlich ein etwas künstliches Beispiel, da ja schon der lineare Anteil zeigt, dass $(0,0)$ asymptotisch stabil ist.

Die zweite Frage würde ich vermutlich so angehen:
Zunächst ist mit der Regel von l'Hospital g(0)=0 die stetige Fortsetzung von f in 0. Dann würde ich vermutlich mit der Logarithmus-Reihe versuchen zu zeigen, dass $L(y)>0$ ist für $y\neq 0$.

Falls das klappt, dann ist zum einen $y=0$ der einzige kritische Punkt von $g$ und zum anderen ist $g(y)>0$ für $-1<y<0$ und $g(y)<0$ für $y>0$.
Du kannst ja mal ausprobieren, ob man so zum Ziel kommt oder ob Du einen anderen Weg findest.

Viele Grüße,
haerter


Jabaa2
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Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07 21:39

Ach mist so einfach ist die Lyapunov-Funktion :( . Ich dachte ich hätte x^2 + y^2 schon ausprobiert, mist . Ich werde mir beide Sachen demnächst nochmal anschauen und dann etwas dazu schreiben, wenn meine Prüfungen geschafft sind ;) .

Viele Grüße


Jabaa2
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Dabei seit: 04.03.2021
Mitteilungen: 24
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08 00:21

Hi,

jetzt konnte ich doch nicht länger warten. Also erstmal dankeschön, dass du die erste gelöst hast. Ich habe den Fehler gemacht nicht nur um eine Umgebung um die 0 zu schauen, deswegen war mir diese Lyapunov-Funktion nicht aufgefallen.

Also ich glaube dein Ratschlag hat wirklich geklappt:

fed-Code einblenden

daraus kann man erkennen, dass L(y)>0 in einer 1-Umgebung, da diese Reihe nur für y<|1| definiert ist.

Es gilt noch:
fed-Code einblenden

Dankeschön bei dieser Aufgabe, ich kannte die Reihensarstellung von ln nicht, aber trotzdem gut zu wissen.

Vielen Dank für die Hilfe

Viele Grüße



Jabaa2
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Dabei seit: 04.03.2021
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08 10:30

(Thema erledigt)




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Druckdatum: 2021-05-06 20:35