Forum:  DGLen 1. Ordnung
Thema: Lyapunov-Funktion angeben
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Jabaa2
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Themenstart: 2021-03-05 22:29
Hallo, ich habe zwar schon DGL geschrieben, aber ich habe eine Frage die mich trotzdem sehr interessiert hat, welche ich in einer Altklausur gefunden habe, aber nicht beantworten konnte: Betrachten sie das Differentialgleichungssystem x^'(t)=4x^3(t)-3x^2(t)-4x(t) y^'(t)=-2y(t) Geben sie eine geeignete Lyapunov-Funktion an und bestimmen sie damit das Stabilitätsverhalten der Nulllösung, d.h. u=0 Also weiß da jemand eine Lyaunov-Funktion. Ich habe lange dran rumprobiert und habe nix gefunden. Noch eine Frage: Es sei L(y):=(y+1)ln(y+1) -y für y\el\ (-1,\inf )und f(y):=-L(y)/ln(y+1) für y \el\ (-1,\inf ) ohne 0 (a) Zeigen Sie, dass f zu einer Funktion g auf (-1,\inf )stetig fortgesetzt werden kann. (b) Bestimmen Sie die kritischen Punkte von g. (c) Nutzen Sie die Eigenschaften der Funktion L, um zu zeigen, dass die stationären Lösungen der Gleichung y^'(t)=g(y(t))asymptotisch stabil sind Hier hatte ich alles geschafft außer (c) Ich dachte es würde mit einer Lyapunov-Funktion gehen, aber ich habe es nicht geschafft zu zeigen, dass L eine Lyapunov-Funktion zu g ist. Auch wenn ihr nur eine der Aufgaben wisst mich würden die Lösungen interessieren. Aber mehr die erste Aufgabe ;) Viele Grüße

haerter
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-07 13:45
Hallo, zu Deiner ersten Frage: Da würde zum Beispiel $V(x,y)=x^2+y^2$ als Lyapunvfunktion funktionieren mit $V'(x(t),y(t))=-8x(t)^2-6x(t)^3+8x(t)^4-4y(t)^2$, was in einer Umgebung von $(x,y)=(0,0)$ strikt negativ ist und damit auf asymptotische Stabilität führt. Das ist natürlich ein etwas künstliches Beispiel, da ja schon der lineare Anteil zeigt, dass $(0,0)$ asymptotisch stabil ist. Die zweite Frage würde ich vermutlich so angehen: Zunächst ist mit der Regel von l'Hospital g(0)=0 die stetige Fortsetzung von f in 0. Dann würde ich vermutlich mit der Logarithmus-Reihe versuchen zu zeigen, dass $L(y)>0$ ist für $y\neq 0$. Falls das klappt, dann ist zum einen $y=0$ der einzige kritische Punkt von $g$ und zum anderen ist $g(y)>0$ für $-10$. Du kannst ja mal ausprobieren, ob man so zum Ziel kommt oder ob Du einen anderen Weg findest. Viele Grüße, haerter

Jabaa2
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07 21:39
Ach mist so einfach ist die Lyapunov-Funktion :( . Ich dachte ich hätte x^2 + y^2 schon ausprobiert, mist . Ich werde mir beide Sachen demnächst nochmal anschauen und dann etwas dazu schreiben, wenn meine Prüfungen geschafft sind ;) . Viele Grüße

Jabaa2
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08 00:21
Hi, jetzt konnte ich doch nicht länger warten. Also erstmal dankeschön, dass du die erste gelöst hast. Ich habe den Fehler gemacht nicht nur um eine Umgebung um die 0 zu schauen, deswegen war mir diese Lyapunov-Funktion nicht aufgefallen. Also ich glaube dein Ratschlag hat wirklich geklappt: L(y)=(y+1)ln(y+1)-y=(y+1)*sum((-1)^(k+1)*y^(k)/k-y,k=1,\inf )=sum((-1)^(k+1)*y^(k+1)/k,k=1,\inf )+sum([(-1)^(k+1)*y^k/k],k=1,\inf )-y hier kann ich das hintere -y in die zweite Summe ziehen =sum((-1)^(k+1)*y^(k+1)/k,k=1,\inf)+ sum((-1)^(k+1)*y^k/k,k=2,\inf) Indexshift in der ersten Summe =sum((-1)^k*y^k/(k-1),k=2,\inf)+sum((-1)^(k+1)*y^k/k,k=2,\inf)=sum((-1)^k*y^k/(k-1)+(-1)^(k+1)*y^k/k,k=2,\inf)= sum((-1)^k*(y^k/(k-1)-y^k/k),k=2,\inf)=sum((-1)^k*(y^k/(k^2-k)),k=2,\inf)=y^2/2-y^3/6+y^4/(12)....... daraus kann man erkennen, dass L(y)>0 in einer 1-Umgebung, da diese Reihe nur für y<|1| definiert ist. Es gilt noch: (L(y))^'=ln(y+1)+1/y Für y<0 ist L(y)^' <0 und für y>0 ist L(y)^'>0. Zusammen mit deinem unten geschriebenen, gilt, dass L(y) eine Lyapunov-Funktion ist und damit ist der 0-Punkt asymptotsch Stabil. Dankeschön bei dieser Aufgabe, ich kannte die Reihensarstellung von ln nicht, aber trotzdem gut zu wissen. Vielen Dank für die Hilfe Viele Grüße

Jabaa2
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08 10:30
(Thema erledigt)



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Druckdatum: 2021-09-20 18:49