Forum:  Mathematische Physik
Thema: Substitutionsregel bei Herleitung, Differentiale Notation
Themen-Übersicht
Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 86
Themenstart: 2021-03-06 10:35

Hi, es geht darum für eine ruhende Flüssigkeit in einem Behälter mit Höhe $h$ den Druck in Abhängigkeit der Tiefe $(z-h)$ zu berechnen.

Man erhält durch einige Überlegungen:
$\int \limits_{z}^{h}\frac{\partial p}{\partial z'}dz'=p(h)-p(z)$

Ich verstehe zwar die physikalischen Überlegungen ( auf die ich jetzt nicht eingehe), aber die Mathematik macht mir Probleme.

Ich glaube, hier wird die Substitutionsregel verwendet, aber ich weiß nicht wie ich $\phi(t)$ bzw. $\phi(z)$ identifizieren kann:
$\int \limits_{a}^{b}f(\phi (t)) \phi'(t)dt =\int \limits_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)dx
$
de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Aussage_der_Substitutionsregel

Beim Schreiben ist mir folgende Idee gekommen: Setze $f(p(z')))=1$, dann gilt:
$\int \limits_{z}^{h}f(p(z')) \cdot \frac{dp}{dz'}dz' = \int \limits_{z}^{h}1\cdot \frac{dp}{dz'}dz'=\int \limits_{p(z)}^{p(h)}f(p)dp =\int \limits_{p(z)}^{p(h)}dp
$
Mich verwirrt hier auch die Notation, ist es egal, ob ich $\int \limits_{z}^{h}f(p(z')) \frac{dp}{dz'}dz'$ oder $\int \limits_{z}^{h}f(p(z')) \frac{\partial p}{\partial z'}dz'$ schreibe?


$\frac{dp}{dz'}$ beschreibt ja eigentlich das totale Differential, aber es kommt mir irgendwie komisch vor hier:
$\int \limits_{z}^{h}\frac{\partial p}{\partial z'}dz' =\int \limits_{p(z)}^{p(h)}dp $

Ich kann ja auch nicht einfach den Quotient der Differentiale $\frac{dz'}{\partial z'} = 1$ setzen, oder?
Dann würde ich auf das gleiche Ergebnis ohne Substitutionsregel kommen, aber das scheint mir nicht richtig zu sein.


Ich bin gerade ein bisschen verwirrt, hoffe ihr erkennt mein Verständnisproblem dennoch und könnt mir helfen.

Danke für's lesen schon mal,

Gruß Sambucus


reik
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2010
Mitteilungen: 154
Wohnort: Berlin
Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-06 18:16

Aus der statischen Bedingung \(\sum \vec{F}_i = \vec{0}\) für ein kleines Kontrollvolumen erhält man $p(z+\Delta z) - p(z) = \rho g \Delta z$. Daraus folgt $p'(z) = \rho g$ und durch Integration $\int p'(z) \text{d}z = \int \rho g \text{d}z$ ergibt sich $\Delta p = \rho g \Delta z$. Eine Tiefenänderung von $\Delta z = 10 \text{m}$ führt zur Druckänderung $\Delta p = 10^5 \text{Pa} = 1 \text{bar}$.

Annahmen: Spezialfall Quader, konstante Dichte $\rho(z) = \rho$ für Wasser, euklidische rechtshändige Koordinaten mit Wasseroberfläche als Referenz und nach unten positiv zählend.

Nun kann man es sich als Übung zur Aufgabe machen, den einfachsten Spezialfall als Notation-Spielkasten zu nutzen und so allgemein, wie einem der bisherige Wissensstand erlaubt, zu arbeiten und möglichst viele Annahmen fallen zu lassen. Allgemeines Kontrollvolumen und vektoriell, unterschiedliche Koordinatensysteme, Transformationen zwischen Koordinatensystemen, zeitlich veränderlich, verallgemeinerte Koordinaten ... Des Weiteren kann man sich an unterschiedlichen Notationstechniken mit variierender Ak­ku­ra­tes­se austoben; im einfachsten Fall: \(\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{p(z+\Delta z) - p(z)}{\Delta z} = p'(z)\) oder auch $p(z+\Delta z) - p(z) \approx p(z) + \text{d}p - p(z) = \text{d}p$ mit \(\text{d}p = p'(z)\text{d}z\). Bildlich wurde der Druck in einem Punkt linearisiert und man betrachtet die Änderung des Druckes entlang der Tangente, d.h. es ist das Taylorpolynom bis zur ersten Ableitung oder einfach die Definition der Ableitung mit Approximation umgeschrieben $\Delta p = \left(\frac{\text{d}p}{\text{d}z}\right)_{z=z_0}\Delta z + \epsilon(\Delta z)$ mit $\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\epsilon(\Delta z)}{\Delta z} = 0$, d.h. angenähert $\Delta p_{\text{tan}} = \left(\frac{\text{d}p}{\text{d}z}\right)_{z=z_0}\Delta z$ oder eben $\text{d}p = \left(\frac{\text{d}p}{\text{d}z}\right)_{z=z_0} \text{d}z$. Du hast Dich dafür entschieden, den Druck von weiteren Variablen als nur der Tiefe abhängig zu machen $p = p(x_1, x_2, x_3, \dots)$ und arbeitest mit dem totalen Differential $\text{d}p = \left(\frac{\partial p}{\partial x_1}\right)_{x_2, x_3, \dots}\text{d}x_1 + \left(\frac{\partial p}{\partial x_2}\right)_{x_1, x_3, \dots}\text{d}x_2 + \left(\frac{\partial p}{\partial x_3}\right)_{x_1, x_2, \dots}\text{d}x_3 + \dots$. Wenn Du das nicht möchtest und $p=p(z)$, dann ist das totale Differential an einer Stelle $z=z_0$ einfach $\text{d}p = p'(z_0)\text{d}z = \left(\frac{\text{d}p}{\text{d}z}\right)_{z=z_0}\text{d}z$ und mit entsprechender Lockerung der Notation sieht man andererseits auch öfter in Physik und Ingenieurwesen $\left(\frac{\text{d}p}{\text{d}z}\right)_{z=z_0}\text{d}z =  \frac{\text{d}p}{\text{d}z} \text{d}z=$<math>\frac{\text{d}p}{\cancel{\text{d}z}}\,\cancel{\text{d}z}</math>$=\text{d}p$.


2021-03-06 10:35 - Sambucus im Themenstart schreibt:

Mich verwirrt hier auch die Notation, ist es egal, ob ich $\int \limits_{z}^{h}f(p(z')) \frac{dp}{dz'}dz'$ oder $\int \limits_{z}^{h}f(p(z')) \frac{\partial p}{\partial z'}dz'$ schreibe?

Ja, wenn $p=p(z)$. Die Notation muss sich hier Deiner Zielsetzung beugen!

2021-03-06 10:35 - Sambucus im Themenstart schreibt:

$\frac{dp}{dz'}$ beschreibt ja eigentlich das totale Differential
Nein.

2021-03-06 10:35 - Sambucus im Themenstart schreibt:
Ich kann ja auch nicht einfach den Quotient der Differentiale $\frac{dz'}{\partial z'} = 1$ setzen, oder?
Dann würde ich auf das gleiche Ergebnis ohne Substitutionsregel kommen, aber das scheint mir nicht richtig zu sein.

Es hängt von Deinen Ansprüchen ab, wie genau Du arbeiten möchtest.


Sambucus
Aktiv
Dabei seit: 08.03.2019
Mitteilungen: 86
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-07 20:41

Vielen Dank für die hilfreiche Antwort :)




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=252707=810
Druckdatum: 2021-05-12 09:48