Forum:  Topologie
Thema: Stetigkeit einer Abbildung zeigen
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Phoensie
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Themenstart: 2021-03-08 15:19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Liebe Matheplanetarier

Definition.
$X := \{(a,b) \in \C^2 \mid |a|^2+|b|^2 = 1\}$;
$\operatorname{SU}(2) = \left\{ \begin{pmatrix} a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} \end{pmatrix} \;\Big|\; a,b \in \C, \, |a|^2+|b|^2 = 1 \right\}$.

Aufgabe.
Ist die Abbildung
\[
\begin{align*}
\varphi: X &\to \operatorname{SU}(2) \\
            (a,b) &\mapsto \begin{pmatrix} a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} \end{pmatrix}
\end{align*}
\] ein Homöomorphismus?

Ich konnte bislang die Bijektivität von $\varphi$ zeigen und habe die inverse Abbildung
\[
\begin{align*}
                \varphi^{-1} : \operatorname{SU}(2) &\to X, \\
                \begin{pmatrix} a & -\overline{b} \\ b & \overline{a} \end{pmatrix} &\mapsto (a,b).
            \end{align*}
\] definiert. Jedoch stehe ich für Stetigkeit beider Abbildungen "auf dem Schlauch"...

LG Phoensie😄
\(\endgroup\)

ochen
Senior
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08 16:36

Hallo,

mit welcher Topologie ist denn $\text{SU}(2)$ ausgestattet?

Kennst du das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium?


Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-08 21:42
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Ich hätte mir die Topologie von $\operatorname{SU}(2)$ als Menge offener Bälle \[\Big\{ \{U \in \operatorname{SU}(2) : \|U - A\| < \delta\} : A \in \operatorname{SU}(2),\, \delta > 0 \Big\}\] bzgl. einer Matrixnorm $\|\cdot\|$ (z.B. Spaltensummennorm) vorgestellt, aber da keine weiteren Infos gegeben sind, weiss ich nicht 100% Auskunft zu geben.

Das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium für Stetigkeit kenne ich nur für metrische Räume $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$; dort haben wir es gelernt als
\[
f:X \to Y \text{ ist stetig } \iff \Big( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \, \forall a,b \in X : d_X(a,b) < \delta \implies d_Y(f(a),f(b)) < \varepsilon \Big).
\]
Inwiefern hilft mir das weiter?
\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-09 09:01

Hallo nochmal

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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)2021-03-08 21:42 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
Ich hätte mir die Topologie von $\operatorname{SU}(2)$ als Menge offener Bälle \[\Big\{ \{U \in \operatorname{SU}(2) : \|U - A\| < \delta\} : A \in \operatorname{SU}(2),\, \delta > 0 \Big\}\] bzgl. einer Matrixnorm $\|\cdot\|$ (z.B. Spaltensummennorm) vorgestellt, aber da keine weiteren Infos gegeben sind, weiss ich nicht 100% Auskunft zu geben.
\(\endgroup\)
Ja, es wird schon bezüglich dieser Topologie gemeint sein. Und welche Topologie hast du auf $X$?

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium für Stetigkeit kenne ich nur für metrische Räume $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$; dort haben wir es gelernt als
\[
f:X \to Y \text{ ist stetig } \iff \Big( \forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \, \forall a,b \in X : d_X(a,b) < \delta \implies d_Y(f(a),f(b)) < \varepsilon \Big).
\]
Inwiefern hilft mir das weiter?
Naja, du hattest doch im Themenstart geschrieben, dass du mit der Stetigkeit beider Abbildungen auf dem Schlauch stehst. Zeige also, dass es Konstanten $c_1,c_2>0$ gibt, sodass
\[
d_Y(\varphi(x_1),\varphi(x_2))\leq c_1 d_X(x_1,x_2)
\] für alle $x_1,x_2\in X$ und
\[
d_X(\varphi^{-1}(y_1),\varphi^{-1}(y_2))\leq c_2 d_Y(y_1,y_2)
\] für alle $y_1,y_2\in Y=\text{SU}(2)$ gilt.


Phoensie
Aktiv
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-03-13 15:43
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}             % Natürliche Zahlen \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}             % Ganze Zahlen \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}             % Rationale Zahlen \newcommand{\R}{\mathbb{R}}             % Reelle Zahlen \newcommand{\C}{\mathbb{C}}             % Komplexe Zahlen \newcommand{\ord}{\mathrm{ord}}         % Gruppenordnung \newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol) \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}   % Realteil \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}   % Imaginärteil \renewcommand{\d}{\operatorname{d}}     % Differential-d \)
Danke ochen für den Tipp.

Ich konnte nachweisen, dass $\varphi$ und $\varphi^{-1}$ lipschitz mit Lipschitzkonstante $2$ sind (obwohl die Lipschitzkonstante sogar noch kleiner sein könnte).

lipschitz-stetig $\implies$ stetig, regelt dann den Rest.
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Druckdatum: 2021-05-10 09:50