Forum:  Körper und Galois-Theorie
Thema: Ist die Menge von Matrizen ein Körper?
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Bruce94
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Themenstart: 2021-04-05 16:29
Hallo, ich stehe vor folgender Aufgabe: Sei $T$ der Ring der $2 x 2$-Matrizen mit Einträgen in $\mathbb{R}$. Ist $S := \{\left( \begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \\ \end{array}\right) \ \vert \ a,b \ \in \ \mathbb{R}\}$ ein Körper? Bisher habe ich in den vorherigen Aufgabenteilen gezeigt, dass $S$ ein Teilring von $T$ ist und einen Ring-Isomorphismus von $\mathbb{C}$ nach $S$ konstruiert. Nun kann ich ja einfach mit Gauß zeigen, dass jedes Element aus $S$ bis auf das neutrale bzgl. der Addition Rang zwei hat und somit invertierbar ist. Damit wäre $S$ ein Körper. Ich denke aber, dass die Aufgabe anders gelöst werden soll. Hat jemand eine Idee? Liebe Grüße Bruce

Diophant
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-05 16:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\) Hallo, ich sehe nichts, was gegen deinen Weg spricht. Im Fall von 2x2-Matrizen wäre der Nachweis des vollen Rangs mit der Determinante vielleicht nochmal ein Stück weit einfacher. EDIT: Natürlich muss man auch noch zeigen, dass die Inverse ebenfalls in \(S\) liegt (Danke, @Triceratops ;-) ). Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Körper und Galois-Theorie' von Diophant]\(\endgroup\)

Triceratops
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Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-05 16:31
Das ist schon richtig so. Jeder zu einem Körper isomorphe Ring ist ebenfalls ein Körper. Wenn man möchte (aber das ist unnötig umständlich), kann man auch noch direkt zeigen, dass jedes Element von $S \setminus \{0\}$ invertierbar ist, indem du die inverse Matrix in $M_2(\IR)$ hinschreibst und erkennst, dass sie auch in $S$ liegt. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Bruce94
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-05 17:43
Vielen Dank für eure Antworten! Das hat mir sehr geholfen!🙂



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Druckdatum: 2021-08-05 22:10