Forum:  Geometrie
Thema: Beweis mit Dreiecksungleichung, dass P bei Hyperbel außerhalb F1-Ast liegt
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Anxi
Neu
Dabei seit: 16.04.2021
Mitteilungen: 1
Themenstart: 2021-04-16 18:10

Hilfeee.. Folgende Aufgaben verstehe ich ned ganz:

1.) Sei P ein Punkt der Ebene. Zeigen Sie:
‚ P liegt genau dann außerhalb des F1–Astes einer Hyperbel mit Brennpunkten F1, F2 und
Hauptachsenlänge r, wenn |PF1| - |PF2| > -r gilt.

Hier muss ich auch einen indirekten Beweis liefern also wenn P innerhalb des F1-Astes liegt.

2.) P liegt genau dann außerhalb einer Parabel mit Brennpunkt F1 und Leitlinie l, wenn |P normal auf l| < |PF1| gilt.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7219
Wohnort: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-16 22:07
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}\)
Hallo und willkommen hier im Forum!

Nutze in beiden Fällen die jeweiligen Beziehungen für Punkte auf dem Kegelschnitt aus.

Für Punkte auf einer Hyperbel gilt in deiner Schreibweise stets:

\[\left||PF_2|-|PF_1|\right|=2r\]
Für Punkte auf einer Parabel dagegen:

\[d(L,P)=|PF|\]
(Bei Parabeln muss man die Brennpunkte nicht nummerieren, da es nur einen davon gibt... 😉)

Diese Gleichungen entsprechen ja den bekannten Tatsachen, dass

- bei Hyperbeln die Differenz der Abstände eines Hyperbelpunktes zu den beiden Brennpunkten konstant ist und

- bei Parabeln der Abstand eines Punkts auf der Parabel zum Brennpunkt gleich dem Abstand zur Leitgeraden ist.

Und deine Aufgabe ist es nun zu schauen, was mit diesen Gleichungen passiert, wenn die Punkte nicht mehr auf dem Kegelschnitt liegen.

Vielleicht verstehst du ja so die Aufgabe besser und kannst einen eigenen Lösungsvesuch starten?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2021-06-22 15:43