Forum:  Funktionen
Thema: Selbstinverse Funktionen
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Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
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Themenstart: 2021-04-19 02:34

Ich mache mir gerade Gedanken zu Funktionen mit der Eingenschaft $f(f(x))=x$. Sofort fallen mir $f(x)=x$ und $f(x)=1/x$ ein. Da solche Funktionen symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden sind, ist mir noch die Viertelkreisfunktion $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ auf dem Intervall $[0;1]$ eingefallen. Weitere Funktionen erhält man durch Verschiebung entlang der ersten Winkelhalbierenden, etwa $f(x)=\frac{x}{x-1}$. Dann wird die Luft aber auch schon dünn.

Mir fallen nur irgendwelche verschobenen oder zusammengestückelten Funktionen wie

\[f(x)=\begin{cases}
x^{2} & \text{für }x\leq0\\
-\sqrt{x} & \text{für }x\geq0
\end{cases}\]
oder \[g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}-\left\lceil x\right\rceil \]
ein. Die Funktion $g$ habe ich mit der geeigneten Symmetrie konstruiert. Es ist mir dann aber nicht so schnell gelungen, durch symbolische Rechnungen zu zeigen, dass sie wirklich selbstinvers ist. Ich habe nach einer Viertel Stunden aufgegeben. Wenn das jemand hinbekommt, würde ich das gerne sehen. Der Grund, warum ich schreibe, ist aber noch ein anderer: Ich suche einfachere selbsinverse Funktionen oder Bildungsvorschriften, wie man neue generieren kann.

MfG
NoFace


nzimme10
Aktiv
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 435
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 02:43

Nicht unbedingt eine direkte Antwort, aber bedenke, dass es im Allgemeinen nicht immer unbedingt möglich ist eine Gleichung der Form $y=f(x)$ elementar in die Form $x=g(y)$ zu überführen.

Selbst bei sehr einfachen Funktionen wie etwa $x\mapsto x^3+3x+1$ kann eine geschlossene Formel der Inversen mitunter sehr kompliziert werden. Manchmal findet man auch einfach keine elementare geschlossene Formel.

LG Nico


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 02:50

Eine habe ich noch: \[f\left(x\right)=\frac{x^{2}-3x+2}{2x^{2}-3x+1}\]


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1325
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19 08:18

Siehe auch Involution.


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9223
Wohnort: Dortmund, Old Europe
Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-19 08:31
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
sollte es bei \( g\) nicht eher \( g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}+\left\lceil x\right\rceil\) heißen?

(Das sollen doch verschobene Viertelkreise sein, oder?)

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1672
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-19 12:22

Hallo

Es gibt unendlich viele solcher Funktionen, nämlich sämtlich Geraden mit m=-1.

Gruß Caban


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2829
Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-19 12:45
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-04-19 02:34 - Kaonashi im Themenstart schreibt:
\[g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}-\left\lceil x\right\rceil \]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Unterscheide die Fälle $x\in \IZ$ und $x\notin \IZ$.
Der erste Fall ist einfach.
Im zweiten sei $n=\lfloor x\rfloor$, also $n < x < n+1$. Kannst du $\lfloor g(x)\rfloor$ und $\lceil g(x) \rceil $ durch $n$ ausdrücken?
Tipp:

Der Wert des Wurzelterms liegt im offenen Intervall $(0,1)$.

\(\endgroup\)

MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2779
Wohnort: Werne
Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-19 13:05

Hallo Kaonashi,
Du kannst sehr einfach solche Funktionen erzeugen, auf implizite Art und Weise. In der impliziten Funktion müssen $x$ und $y$ nur vertauschbar sein. Für eine beliebige Funktion $f$ liefert die implizite Definition $f(x+y)=0$ eine Selbstinverse, oder auch $f(xy)=0$, oder $f(\ln x\cdot \ln y)=0$, oder beliebige symmetrische Kombinationen: $f(x+y)+g(xy)=0$. Ob die implizite Darstellung dann nach $y$ aufgelöst werden kann, steht natürlich auf einem anderen Blatt. Wenn $f$ eine gerade Funktion ist, führt auch die Kombination mit $f(x-y)$ zum Ziel.
Deine bisherigen Beispiele lassen sich in eine solche Form überführen:
$y=-x\Leftrightarrow x+y=0$
$y=\frac1x\Leftrightarrow xy-1=0\qquad\forall x,y\neq0$
$y=\frac x{x-1}\Leftrightarrow xy-(x+y)=0\qquad\forall x,y\neq1$
$y=\pm\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x^2+y^2-1=0$
Auf diese Art und Weise kannst Du also auch leicht andere Selbstinverse konstruieren, z.B.
$x^3+y^3-2=0\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{2-x^3}$
$x^2+xy+y^2-3=0\Leftrightarrow y=-\frac12x\pm\sqrt{3-\frac34x^2}$

Ciao,

Thomas


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 18:31

2021-04-19 08:18 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Siehe auch Involution.

Damit sind aber meist Permutationen gemeint.

2021-04-19 12:22 - Caban in Beitrag No. 5 schreibt:
Es gibt unendlich viele solcher Funktionen, nämlich sämtlich Geraden mit m=-1.

Ja, hast Recht, die habe ich nicht erwähnt. Die sind aber auch nicht wirklich spannend.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)2021-04-19 08:31 - Wally in Beitrag No. 4 schreibt:
sollte es bei \( g\) nicht eher \( g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}+\left\lceil x\right\rceil\) heißen?

(Das sollen doch verschobene Viertelkreise sein, oder?)
Wally
\(\endgroup\)

Nö. Es sind zwar verschobene Viertelkreise, aber deine Funktion ist nicht selbstinvers. Sie müsste \( g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}+\left\lceil x\right\rceil -1\) heißen. Aber die ist unstetig. Das mag ich nicht.

2021-04-19 13:05 - MontyPythagoras in Beitrag No. 7 schreibt:
Du kannst sehr einfach solche Funktionen erzeugen, auf implizite Art und Weise.

Das ist eine gute Idee. Deine Kegelschnitte erinnern mich an mein Lieblingsbeispiel $x+y=xy$. Dass die Menge der Zahlenpaare, bei denen Addition und Multiplikation zusammenfallen, eine Funktion ist, braucht wahrscheinlich kein Mensch, ich finde es aber nett. Wenn ich $(0,0)$ rausnehme, ist es äquivalent zu $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} = 1$, was wiederum als Bedingung für die Exponenten in der hölderschen Ungleichung auftritt.


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1325
Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-19 18:45

2021-04-19 18:31 - Kaonashi in Beitrag No. 8 schreibt:
2021-04-19 08:18 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Siehe auch Involution.

Damit sind aber meist Permutationen gemeint.

Nein, eine Involution ist ganz allgemein eine selbstinverse Funktion. (Du siehst auch bereits im verlinkten Text, dass nicht nur Permutationen gezeigt werden.)


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 19:48

2021-04-19 18:45 - Kezer in Beitrag No. 9 schreibt:
Nein, eine Involution ist ganz allgemein eine selbstinverse Funktion. (Du siehst auch bereits im verlinkten Text, dass nicht nur Permutationen gezeigt werden.)

Nagut, dann sind Permutationen doch nicht so oft gemeint. Gut, dass du das klargestellt hast. Das hat mir weitergeholfen.




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Druckdatum: 2021-06-16 15:04