Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Abschätzung des Erwartungswertes
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Bayes2021
Junior
Dabei seit: 19.04.2021
Mitteilungen: 9
Themenstart: 2021-04-19 12:05

Hi,

ich sitze gerade daran die folgende Ungleichung (1) zu beweisen. (2) ist, unter Verwendung von (1) kein Problem.


Sei $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ein $W$ -Raum.
(1) Für $X \in \mathcal{M}^{+}(\mathcal{A})$ gilt:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega)>n\}) \leq E(X) \leq \sum_{n=0}^{\infty} P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega)>n\})
$$ (2) Für $X \in \mathcal{M}(\mathcal{A})$ gilt:
$$ X \in \mathcal{L}^{1}(P) \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} P(\{\omega \in \Omega|| X(\omega) \mid>n\})<\infty
$$

Hat jemand einen Tipp für mich? Laut Skript soll es sich dabei um eine direkte Anwendung des folgenden Satzes handeln, aber ich sehe nicht wie/wo ich da ansetzen soll. Jemand einen Tipp für mich?


Sei $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ ein $W$ -Raum, $X \in \mathcal{M}^{+}(\mathcal{A})$ und $F$ die Verteilungsfunktion von $X$. Dann gilt
$$ E(X)=\int X \mathrm{~d} P=\int_{0}^{\infty}(1-F(x)) \mathrm{d} \lambda
$$


Viele Grüße
Kai


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 15:58

Hallo Kai,

Du könntest so anfangen:

$$ \begin{align*}
&\int_0^\infty 1-F(x)\,d\lambda(x)=\int_0^\infty 1-P(X\leq x)\,d\lambda(x)\\
&=\int_0^\infty P(X>x)\,d\lambda(x)=\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1} P(X>x)\,d\lambda(x).
\end{align*}
$$
Jetzt musst Du Dir überlegen, wie Du \(n\leq x\leq n+1\) und die Monotonie von \(P\) zusammenbringen kannst.


Bayes2021
Junior
Dabei seit: 19.04.2021
Mitteilungen: 9
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-19 20:09

Hey,

vielen Dank für den Tipp.

Bei mir sieht es jetzt wie folgt aus:

$$ \begin{align}
E(X)&= \int_{0}^{\infty}1-F(x)\; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \int_{0}^{\infty}1-P(-\infty, x))\; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \int_{0}^{\infty}P([x, \infty)) \; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1}P([x, \infty)) \; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \left( \int_{\Omega} \chi_{[x, \infty]} (X(\omega)) \mathrm{d} P(\omega) \right)\; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\Omega} \left( \int_{n}^{n+1} \chi_{[x, \infty]} (X(\omega)) \mathrm{d} \lambda(x) \right)\; \mathrm{d} P(\omega) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\Omega} \chi_{[n, \infty]} (X(\omega)) \; \mathrm{d} P(\omega)\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} P(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega)>n \}) \\
\end{align}
$$
Wobei ich von 6 nach 7 folgende Überlegung verwendet habe:



Ist das so richtig?

VG
Kai


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19 21:34

Die Gleichung \(F(x)=P(-\infty,x)\) ist schon falsch, da taucht ja gar kein \(X\) mehr auf. Es gilt \(F(x)=P(X\leq x)=P_X((-\infty, x])\).

Auch der Übergang von \((6)\) zu \((7)\) ist nicht richtig. \(X(\omega)-n=\chi_{[n,\infty]}(X(\omega))\) für \(n\leq X(\omega)\leq n+1\) kann nicht stimmen, da die rechte Seite nur \(0\) oder \(1\) sein kann.


Du machst Dir das Leben irgendwie zu kompliziert, ich hatte schon begründet, wieso \(\int_0^\infty 1-F(x)\,d\lambda(x)=\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1} P(X>x)\,d\lambda(x)\) ist. \(P(X>x)\) ist eine Kurznotation für \(P(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)>x\})\), d.h. die Gleichung \[E(X)=\int_0^\infty 1-F(x)\,d\lambda(x)=\sum_{n=0}^\infty\int_n^{n+1} P(\{\omega\in\Omega\,|\,X(\omega)>x\})\,d\lambda(x)\] haben wir schon.

Jetzt musst Du dies nach oben und unten abschätzen. Wenn \(n\leq x\leq n+1\) ist, dann folgt aus \(X(\omega)>x\), dass \(X(\omega)>n\) ist und aus \(X(\omega)>n+1\) folgt \(X(\omega)>x\).


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 485
Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-20 00:11

Wenn Du Deinen Ansatz weiter verfolgen möchtest, musst Du so vorgehen:

$$ \begin{align}
E(X)&= \int_{0}^{\infty}1-F(x)\; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \int_{0}^{\infty}1-P_X((-\infty, x])\; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \int_{0}^{\infty}P_X((x, \infty)) \; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1}P_X((x, \infty)) \; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \int_{\Omega} \chi_{(x, \infty)} (X(\omega))\, \mathrm{d} P(\omega) \; \mathrm{d} \lambda(x) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \int_{\Omega}  \int_{n}^{n+1} \chi_{(x, \infty)} (X(\omega))\, \mathrm{d} \lambda(x) \; \mathrm{d} P(\omega) \\
&= \sum_{n=0}^{\infty}\left( \int_{\{X\leq n\}} 0 \; \mathrm{d} P(\omega)+\int_{\{n<X\leq n+1\}}  X(\omega)-n\; \mathrm{d} P(\omega)+\int_{\{X>n+1\}}  1 \; \mathrm{d} P(\omega) \right)\\
&= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\int_{\{n<X\leq n+1\}}X(\omega)-n
\;  \mathrm{d} P(\omega)+P(X>n+1)\right)\\
\end{align}
$$
Jetzt musst Du das Integral nach oben und unten abschätzen.




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Druckdatum: 2021-06-16 18:54