Forum:  Algebraische Geometrie
Thema: endlicher Kettenkomplex C
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carolinmarldo
Junior
Dabei seit: 23.04.2021
Mitteilungen: 5
Themenstart: 2021-04-23 10:33

Aufgabe:





Ich stehe aufm Schlauch und weiß überhaupt nicht weiter... bitte um Hilfe


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1319
Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-23 11:09

Hi,

vielleicht hilft es, wenn du mit einem kürzeren Kettenkomplex anfängst (der Beweis lässt sich dann sowieso unmittelbar auf den allgemeinen Fall übertragen).

Erinnere dich dann an den Homomorphiesatz (bzw. den Dimensionssatz/Rangsatz) aus der linearen Algebra.

(Den ersten Schritt musst du nicht machen, aber eventuell hilft es dir, da es dann weniger abstrakt erscheinen könnte.)


carolinmarldo
Junior
Dabei seit: 23.04.2021
Mitteilungen: 5
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 14:45

Was ich gefunden habe im Skript:

"Es gilt ker(π) = U, und, falls V endlich-dimensional ist, dim(V/U) =
dim(V)-dim(U)."


Damit habe ich jetzt dim(V_i)=dim(H_i(C)=dim(ker(f_i)/im(f_i+1)=dim(ker(f_i))-dim(im(f_i+1)


weiter komme ich nicht..



Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2819
Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-23 14:56
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Welcher Zusammenhang besteht zwischen $\ker f_i, \im f_i$ und $V_i$?
\(\endgroup\)

carolinmarldo
Junior
Dabei seit: 23.04.2021
Mitteilungen: 5
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 15:11

Ker(f_i) umfasst die Vektoren aus V_i und im(f_i) sind die Werte die von der Abbildung hervorkommen

und im(f_i+1) ist eine teilmenge von ker(f_i)


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2819
Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-23 15:14
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Das ist zu oberflächlich. Was kannst du über die Dimensionen dieser drei Vektorräume aussagen? (für festes $i$. Das es hier um einen Kettenkomplex geht ist erstmal unwichtig.)
\(\endgroup\)

carolinmarldo
Junior
Dabei seit: 23.04.2021
Mitteilungen: 5
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 15:28

dim(V)=ker(f))+dim(im(f))


carolinmarldo
Junior
Dabei seit: 23.04.2021
Mitteilungen: 5
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-23 15:32

i ist ja entweder bei ker(f_i) oder bei dim(im(f_i+1)) ungerade.

Bedeutet das dann, dass bei (dim(im(f_i+1) ungerade ist auch negativ ist und bei -(-)=+ und somit wäre die Formel richtig  

Wenn ker(f_i) und dim(V_i) ungerade wären, würde es doch bedeuten, dass man alles mal - nimmt somit würde dies auch erfüllen?





FibreBundle
Aktiv
Dabei seit: 02.01.2020
Mitteilungen: 58
Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-24 15:15

Ich deute aus deiner Frage, dass noch nicht alles klar ist. Hier eine Zusammenfassung.

Du hast schon alles zusammengetragen, was du benötigst.

$\dim(\ker(f_i)/\text{im}(f_{i+1})) = \dim(\ker(f_i)) - \dim(\text{im}(f_{i+1}))$

und natürlich

$f_{i+1}: V_{i+1}\rightarrow V_i$ mit $\dim(V_{i+1}) = \dim(\ker(f_{i+1})) + \dim (\text{im}(f_{i+1})))$.

Jetzt musst du nur noch einsetzen, um auf

$\dim(\ker(f_i)/\text{im}(f_{i+1})) = \dim(H_i) = \dim(V_i) - \dim (\text{im}(f_{i})) - \dim (\text{im}(f_{i+1})))$

zu kommen.

Wenn du nun die Summe $\dim(H_0) - \dim(H_1) + \dim(H_2) - ...$ aufschreibst, dann müsste dir auffallen, dass sich die $\dim(\text{im}(f_{i}))$ wegheben. Alle? Fast alle. $\dim(\text{im}(f_{0}))$ und $\dim(\text{im}(f_{n+1}))$ bleiben stehen.

Doch was ist die Dimension dieser Räume?  Hier hilft die Dimensionsformel. $\dim (V_{n+1}) = 0 = \dim(\ker(f_{n+1})) + \dim(\text{im}(f_{n+1})) = 0+0$ und die Eigenschaft, dass $\dim(\text{im}(f_{0}))=0$ ist wegen $V_{-1}=\{0\}$.




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Druckdatum: 2021-06-12 18:37