Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Unkorrelierte Zufallsvariablen
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xitsokx
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Dabei seit: 11.11.2020
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Themenstart: 2021-05-06 18:52
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Hallo,


Könnt ihr mir helfen bei der Aufgabe?


Sei $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge unkorrelierter Zufallsvariablen mit $\mathbb{P}(X_n = 1) = \mathbb{P}(X_n = -1) = \frac{1}{2}$ für alle $n \in \mathbb{N}$.  Definiere $Y_n := \frac{1}{n} \sum^n_{k=1} X_k$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
Für welche $p \in [1, \infty)$ konvergiert $(Y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ in $L^p$ gegen Null?
Berechne zunächst $\mathbb{E}[Y^2_n]$  für alle $n \in \mathbb{N}$.


Wie gehe ich da vor?

Vielen Dank.
LG
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 507
Beitrag No.1, eingetragen 2021-05-06 19:32

Hallo xitsokx,

es gilt ja \(Y_n^2=\frac{1}{n^2}\sum_{i,j=1}^nX_iX_j\). Du könntest also erstmal \(\mathbb{E}[X_i]\) und \(\mathbb{E}[X_iX_j]\) für \(i,j\in\mathbb{N}\) berechnen. Dabei kannst Du ausnutzen, dass für \(i\neq j\) wegen der Unkorreliertheit gilt, dass \(\mathbb{E}[X_iX_j]=\mathbb{E}[X_i]\mathbb{E}[X_j]\). So kannst Du dann schonmal \(\mathbb{E}[Y_n^2]\) bestimmen.


xitsokx
Aktiv
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 25
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-07 14:49
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Hallo sonnenschein96,

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Wenn ich das nun einsetze bekomme ich folgendes raus.

$\mathbb{E}[Y^2_n]$ = $\mathbb{E}[\frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} X_i X_j] = \frac{1}{n^2}  \sum^n_{i,j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = \frac{1}{n^2}  \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = \frac{1}{n^2} n * n \mathbb{E}[ X_i ] \mathbb{E}   [X_j] =  \mathbb{E}[ X_i ] \mathbb{E}   [X_j] $

für alle $i \neq j$.

Und wie gehe ich nun weiter?

LG
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 507
Beitrag No.3, eingetragen 2021-05-07 16:23

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)2021-05-07 14:49 - xitsokx in Beitrag No. 2 schreibt:
$\mathbb{E}[Y^2_n]$ = $\mathbb{E}[\frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1} X_i X_j] = \frac{1}{n^2}  \sum^n_{i,j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = \frac{1}{n^2}  \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1} \mathbb{E}[ X_i X_j] = ...$
\(\endgroup\)
Das stimmt noch, der Rest danach aber nicht.

Du kannst die Summe so nicht auflösen, dort kommen ja auch Summanden mit \(i=j\) vor. Du musst also die Fälle \(i\neq j\) und \(i=j\) unterscheiden. Für \(i=j\) ist \(\mathbb{E}[X_iX_j]=\mathbb{E}[X_i^2]\).

Du musst also als nächstes \(\mathbb{E}[X_i]\) und \(\mathbb{E}[X_i^2]\) berechnen, was Dir aber nicht schwer fallen sollte, da Du die Verteilung der \(X_i\) ja konkret gegeben hast.


xitsokx
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Dabei seit: 11.11.2020
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10 11:46

Und wie berechne ich das?


luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 576
Beitrag No.5, eingetragen 2021-05-10 11:59

2021-05-10 11:46 - xitsokx in Beitrag No. 4 schreibt:
Und wie berechne ich das?

Moin, es gilt die alte Bauernregel $\mathbb{Cov}[X_i,X_j]=\mathbb{E}[X_iX_j]-\mathbb{E}[X_i]\cdot\mathbb{E}[X_j]$ ...

vg Luis


xitsokx
Aktiv
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 25
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10 12:07
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Hallo luis52,

Wegen der Unkorreliertheit ist doch $\mathbb{Cov} [X_i, X_j] =0 $ oder?


Gilt wegen der allgemeinen Formel

$\mathbb{E} [X^2_n] = \sum^\infty_{i=1} x^2_i \mathbb{P} (X_n = x_i)  $ dass dann $\mathbb{E} [X^2_n] = \frac{1}{2}$ ?


LG
\(\endgroup\)

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 576
Beitrag No.7, eingetragen 2021-05-10 12:43

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)2021-05-10 12:07 - xitsokx in Beitrag No. 6 schreibt:
Wegen der Unkorreliertheit ist doch $\mathbb{Cov} [X_i, X_j] =0 $ oder?


\(\endgroup\)

Ja.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)2021-05-10 12:07 - xitsokx in Beitrag No. 6 schreibt:
Gilt wegen der allgemeinen Formel

$\mathbb{E} [X^2_n] = \sum^\infty_{i=1} x^2_i \mathbb{P} (X_n = x_i)  $ dass dann $\mathbb{E} [X^2_n] = \frac{1}{2}$ ?

\(\endgroup\)

Verstehe ich nicht. Ich denke, du willst $\mathbb{E}[Y_n^2]$ bestimmen. Versuch nochmal

$\mathbb{E}[Y_n^2]=\mathbb{E}[\frac{1}{n^2} \sum^n_{i,j=1}  X_i X_j]=\frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1}\mathbb{E}[ X_i^2]+\frac{1}{n^2}\sum_{i\ne j}\mathbb{E}[X_i X_j]$

aufzudroeseln.



xitsokx
Aktiv
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 25
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10 13:09
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Also ich weiß $\mathbb{E}[X_i] = 1 \cdot (\frac{1}{2}) + (-1) \cdot (\frac{1}{2}) = 0$ und

$\mathbb{E}[X^2_i] =  1^2  \cdot (\frac{1}{2}) + (-1)^2 \cdot (\frac{1}{2})  = 1$

Also folgt:

$\mathbb{E}[Y^2_n]  = \frac{1}{n^2} \sum^n_{i=1} \mathbb{E}[X^2_i] + \frac{1}{n^2} \sum^n_{i \neq j} \mathbb{E}[X_i] \mathbb{E}[X_j]    = \frac{1}{n}$

Wie kann ich das nun anwenden?
\(\endgroup\)

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 576
Beitrag No.9, eingetragen 2021-05-10 14:57

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)2021-05-10 13:09 - xitsokx in Beitrag No. 8 schreibt:
 

Wie kann ich das nun anwenden?
\(\endgroup\)

Hi xitsokx, ein bisschen mehr Eigenleistung erwarten wir hier schon von dir. Wann konvergiert denn $(Y_n)_{n\in\IN}$ in $L^p$ gegen Null?

vg Luis


xitsokx
Aktiv
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 25
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10 15:24
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
2021-05-10 14:57 - luis52 in Beitrag No. 9 schreibt:


 Wann konvergiert denn $(Y_n)_{n\in\IN}$ in $L^p$ gegen Null?
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)


Die Konvergenz von $Y_n$ gegen 0 würde bedeuten

$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathbb{E} ( |Y_n - 0|^p) = \mathbb{E} |Y_n |^p = 0 $

Da $ \mathbb{E} |Y_n |^2 =  \mathbb{E} [Y^2_n] $ gilt das schonmal für $p =2$.
\(\endgroup\)

luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 576
Beitrag No.11, eingetragen 2021-05-10 15:43

Siehe mal  hier.
   

vg Luis


sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 507
Beitrag No.12, eingetragen 2021-05-12 16:21

Für \(1\leq p\leq2\) folgt aus der Hölderschen Ungleichung, dass \(\mathbb{E}[|Y_n|^p]\leq\mathbb{E}[|Y_n|^2]^{\frac{p}{2}}\).

Für \(2\leq p<\infty\) ist \(|Y_n|^p=|Y_n|^2|Y_n|^{p-2}\leq|Y_n|^2\), da \(|Y_n|\leq1\) (\(\mathbb{P}\)-f.ü.).

Zusatzfrage: Was ist mit \(p=\infty\)?


xitsokx
Aktiv
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 25
Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12 16:38
\(\begingroup\)\(usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[german]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{lmodern} \usepackage{listings} \usepackage{color} \usepackage{graphicx} \usepackage{enumerate} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor} \usepackage[left=2.5cm,right=3.5cm,top=1cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry} \)
Vielen Dank sonnenschein96, das habe ich auch bis dahin. :)

Für $p = \infty$ habe ich mir auch Gedanken gemacht und werde das meinen Dozenten fragen.
\(\endgroup\)

sonnenschein96
Senior
Dabei seit: 26.04.2020
Mitteilungen: 507
Beitrag No.14, eingetragen 2021-05-12 17:51

Der Vollständigkeit halber hier der Fall \(p=\infty\), ich hoffe der Dozent sagt Dir das gleiche :P


Wegen \(|Y_n|\leq1\) (\(\mathbb{P}\)-f.ü.) und \(\mathbb{P}(|Y_n|=1)=\frac{1}{2^{n-1}}>0\) (zumindest für unabhängige \(X_i\)) gilt \(\|Y_n\|_\infty=1\), also kann \((Y_n)\) in \(L^\infty\) nicht gegen \(0\) gehen.

Tatsächlich kann es auch kein anderes \(Y\in L^\infty\) mit \(Y_n\to Y\) in \(L^\infty\) geben: Daraus würde nämlich \(Y_n\to Y\) in \(L^p\) für \(1\leq p <\infty\) folgen und da wir wissen, dass \(Y_n\to0\) in \(L^p\), folgt aus der Eindeutigkeit des Grenzwertes, dass \(Y=0\) sein müsste.



xitsokx
Aktiv
Dabei seit: 11.11.2020
Mitteilungen: 25
Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-12 17:53

Wow super, vielen vielen Dank!! :))




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Druckdatum: 2021-07-27 20:16