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Thema: Bildungsvorschrift von A138099 (1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5,...)
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Wario
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Themenstart: 2021-06-14 09:21
1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 9, 10, 11, 12, 13, .... Wie ist diese Bildungsvorschrift A138099 Irregular triangle read by rows: T(n,k) = k + floor(n/2), 1 <= k <= ceiling(n/2) zu verstehen? Der Teil T(n,k) = k + floor(n/2) ist vermutlich klar, wobei n, k vermutlich für Zeile / Spalte des Dreiecks oder umgekehrt steht. Aber was ist mit 1 <= k <= ceiling(n/2)? Und 'ceiling(x)' ist einfach 'ceil(x)' oder wie? Also zur nächsten Ganzzahl aufrunden.

Nuramon
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-14 12:28
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, du hast es schon richtig gesagt: $n$ steht für die Zeile, $k$ für die Spalte. Dabei hat die $n$-te Zeile genau $\lceil \frac n2\rceil$ Einträge. Offset 1,2 bedeutet (siehe hier): Die erste Zahl in der Folge entspricht $n=1$ und das erste Folgenglied, dessen Betrag größer als 1 ist, ist das zweite Folgenglied. Die Folge entspricht also dieser Dreiecksfolge (siehe "Example" in OEIS): 1; 2; 2, 3; 3, 4; 3, 4, 5; 4, 5, 6; 4, 5, 6, 7; 5, 6, 7, 8;\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-14 17:37
Achso, also die zwei Angaben beschreiben, wie das irreguläre Dreieck zu besetzen ist. Um das zu programmieren würde ich vermutlich immer von einem regulären Dreieck ausgehen und die später auszublendenden Stellen mit -1 besetzen, da die Folge positiv definit ist. Mir ist sowieso gerade wieder unklar, was ich eigentlich machen wollte. Ich glaube dieses Dreieck in Zeilen- und Spaltenindex erfassen: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52997_Elektronenkonfiguration-MandelungSchema-800px-Madelung_rule.svg.png

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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15 11:18
Jetzt ist mir wieder alles klar. 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8, 5, .... ist die Folge der Hauptquantenzahlen (übliches Symbol n) in der Reihenfolge der Orbitale, die der Reihe nach besetzt werden. Und die Interpretation als Zahlenfolgendreieck gibt direkt das Schema in der Abbildung #2 wieder. Etwas dümmer ist da schon die Folge der Nebenquantenzahlen (übliches Symbol l) in der Reihenfolge der Orbitale, die der Reihe nach besetzt werden: 0,0,1,0,1,0,2,1,0,2,1,0,3,2,1,0,3,2,1,0,4,...

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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15 20:07
Ja, macht er hier ohne weitere Hilfsmittel mehr oder weniger schön. $ % \begin{tikzpicture} \foreach \n in {1,...,12}{ \pgfmathsetmacro\RowLength{ceil(\n/2)} \foreach \k in {1,...,\RowLength}{ $\|$T(\n,\k) = \pgfmathprint{int(\k + floor(\n/2))} } \\ } $

Wario
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-15 22:26
Ich hätte jetzt aber dennoch nochmal eine Frage: Was mir bei dieser Dreieckskonstruktionsvorschrift \quoteon(2021-06-14 09:21 - Wario im Themenstart) A138099 Irregular triangle read by rows: T(n,k) = k + floor(n/2), 1 <= k <= ceiling(n/2) \quoteoff nicht klar ist: Wenn ich jetzt wissen will, welches das n-te Glied (z.B. das 5-te Glied) der Folge ist, woher weiß ich das dann? Mich beschleicht der Verdacht, dass ich (vgl. in obigem Link) die explizite Bildungsvorschrift a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2) brauchen werde (für meine Zwecke). ---> Wie leitet man die her?

Nuramon
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Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-15 22:40
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon Mich beschleicht der Verdacht, dass ich (vgl. in obigem Link) die explizite Bildungsvorschrift a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2) brauchen werde (für meine Zwecke). ---> Wie leitet man die her? \quoteoff Ich habe es nicht durchgerechnet, aber das sollte man mit folgender Überlegung beweisen können: Der Eintrag $T(n,k)$ an Position $(n,k)$ des Dreiecks entspricht dem $m$-ten Folgenglied, wobei $m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k $. ($n-1$ vollständige Spalten und noch $k$ Einträge in der $n$-ten Spalte).\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20 16:58
\quoteon(2021-06-15 22:40 - Nuramon in Beitrag No. 6) \quoteon Mich beschleicht der Verdacht, dass ich (vgl. in obigem Link) die explizite Bildungsvorschrift a(n) = n - floor((1/4)*(floor(sqrt(4*n-3))-1)^2) brauchen werde (für meine Zwecke). ---> Wie leitet man die her? \quoteoff Ich habe es nicht durchgerechnet, aber das sollte man mit folgender Überlegung beweisen können: Der Eintrag $T(n,k)$ an Position $(n,k)$ des Dreiecks entspricht dem $m$-ten Folgenglied, wobei $m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k $. ($n-1$ vollständige Spalten und noch $k$ Einträge in der $n$-ten Spalte). \quoteoff Das wäre grundsätzlich gut, weil man dann jede dreieckige Zahlenfolge $T(n,k)$ in eine explizite Folge $a_m$ überführen könnte. Ich komme auf $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle m =\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)+k = \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) +k $, aber wie soll man jetzt davon auf die explizite Folge $a_m$ schließen?

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Beitrag No.8, eingetragen 2021-06-20 17:37
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-06-20 16:58 - Wario in Beitrag No. 7) Ich komme auf $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle m =\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)+k = \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) +k $, aber wie soll man jetzt davon auf die explizite Folge $a_m$ schließen? \quoteoff Deine Formel gilt nur für ungerades $n$. Allgemein muss man die Umkehrung der Abbildung $(n,k)\mapsto m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k$ bestimmen. Zu gegebenem $m$ berechnet man dazu $n= \max \{\nu\in \IN\mid \sum_{j=1}^{\nu-1}\lceil \frac j2 \rceil \(\endgroup\)

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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-20 18:04
\quoteon(2021-06-20 17:37 - Nuramon in Beitrag No. 8) \quoteon(2021-06-20 16:58 - Wario in Beitrag No. 7) Ich komme auf $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle m =\left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right)+k = \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) +k $, aber wie soll man jetzt davon auf die explizite Folge $a_m$ schließen? \quoteoff Deine Formel gilt nur für ungerades $n$. Allgemein muss man die Umkehrung der Abbildung $(n,k)\mapsto m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k$ bestimmen. Zu gegebenem $m$ berechnet man dazu $n= \max \{\nu\in \IN\mid \sum_{j=1}^{\nu-1}\lceil \frac j2 \rceil

Nuramon
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Beitrag No.10, eingetragen 2021-06-20 18:20
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-06-20 18:04 - Wario in Beitrag No. 9) Also erstmal: meine Berechnung $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle \left(\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} \right) = \ceil{\frac n2} \left( \ceil{\frac n2}-1 \right) $ ist falsch, ja? \quoteoff Die Formel stimmt, wenn $n$ ungerade ist. Das kann man leicht im Kopf nachrechnen, denn für $n=2a+1$ ist $$ \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} = 1+1+2+2+3+3+\ldots + a+a = (a+1)a = \ceil{\frac n2}(\ceil{\frac n2}-1).$$ Für gerades $n$ ist die Formel falsch, aber man erhält leicht eine ähnliche Formel (die sogar noch einfacher ist). \quoteon Den Rest betrachte ich dann als nächstes. Und das führt dann schon dazu, dass am Ende $\newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} a_n = n - \floor{\frac14 \floor{\sqrt{4n-3}}-1)^2}$ dasteht? \quoteoff Wie gesagt: Ich habe es nicht selbst nachgerechnet, da das mit mit Fallunterscheidungen vermutlich recht aufwändig wird. Wenn die OEIS-Formel stimmt, dann sollte man sie so aber begründen können. Vermutlich erhält man einen etwas anderen Ausdruck, den man mit viel Anstarren zu dem Term von OEIS umformen kann.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21 16:09
\showon Falsch So, jetzt erstmal die korrekte Nebenrechnung festhalten: $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle \begin{array}{l l} \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P}\ceil{\frac{2p}{2}} \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{\frac{2q-1}{2}} \right\rgroup \\ &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{q-\frac{1}{2}} \right\rgroup \\ &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup \\ \end{array}$ · Größter Index $P$ von $p$: $n-1$ gerade $\Rightarrow~ 2p=n-1 ~\Rightarrow~ p=\dfrac{n-1}{2}=\ceil{\dfrac{n-1}{2}}$ $n-1$ ungerade $\Rightarrow~ 2p=(n-1)-1 ~\Rightarrow~ p=\dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1}{2}=\ceil{\dfrac{n-1}{2}}$ $~~~~~\Rightarrow~ P = \ceil{\dfrac{n-1}{2}}$ · Größter Index $Q$ von $q$: Gleiche Betrachtung, da Summationsterm gleich geartet. $~~~~~\Rightarrow~ Q = \ceil{\dfrac{n-1}{2}}$ $\displaystyle \begin{array}{l l l} \Rightarrow & \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup %\\ &&=2 \sum\limits_{p=1}^{\ceil{\frac{n-1}{2}}} p \\ &&=2\dfrac{P(P-1)}{2} = P(P-1) \\ &&= \ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}-1 \right) \end{array}$ \showoff

Wario
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21 17:22
\quoteon(2021-06-21 16:09 - Wario in Beitrag No. 11) $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle \begin{array}{l l l} \Rightarrow & \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} &&= \ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}-1 \right) \end{array}$ \quoteoff \quoteon(2021-06-20 17:37 - Nuramon in Beitrag No. 8) Allgemein muss man die Umkehrung der Abbildung $(n,k)\mapsto m= \left(\sum_{j=1}^{n-1}\lceil \frac j2 \rceil \right)+k$ bestimmen. Zu gegebenem $m$ berechnet man dazu $n= \max \{\nu\in \IN\mid \sum_{j=1}^{\nu-1}\lceil \frac j2 \rceil

Nuramon
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Beitrag No.13, eingetragen 2021-06-21 21:25
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Zu No.11: Der Fall $n$ gerade ist immer noch falsch. Ist auch nicht überaschend, da du nichts geändert hast und er vorher schon falsch war. Zu No.12: Kannst du zu gegebenem $m$ das größte $a\in \IN$ mit $(a+1)a \(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21 21:30
\quoteon(2021-06-21 21:25 - Nuramon in Beitrag No. 13) 1)Zu No.11: Der Fall $n$ gerade ist immer noch falsch. Ist auch nicht überaschend, da du nichts geändert hast und er vorher schon falsch war. 2) Zu No.12: Kannst du zu gegebenem $m$ das größte $a\in \IN$ mit $(a+1)a

Nuramon
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Beitrag No.15, eingetragen 2021-06-21 21:51
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon 1) Wieso ist doch zumindest mal ein anderer Term. \quoteoff Ich hatte nur registriert, dass du wieder einen Term der Form $(a+1)a$ erhalten hattest, was falsch ist. Aber du hast recht, dass du einen leicht anderen Term aufgeschrieben hattest. \quoteon Wo, an welcher Stelle, ist denn in der Rechnung der Fehler? \quoteoff Hier ist der erste Fehler: $$ \dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1}{2}\not= \left\lceil{\dfrac{n-1}{2}}\right\rceil$$ \quoteon 2) Moment, Moment. Eins nach dem anderen. Wenn in der Vorarbeit Fehler sind, kann der Rest sowieso nur um die Ohren fliegen. \quoteoff Ich habe schon weit genug mitgedacht, dass mein Hinweis auch in Zukunft noch hilfreich sein wird, wenn du beide Fälle richtig gelöst hast.\(\endgroup\)

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Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-21 22:49
\quoteon(2021-06-21 21:51 - Nuramon in Beitrag No. 15) \quoteon 2) Moment, Moment. Eins nach dem anderen. Wenn in der Vorarbeit Fehler sind, kann der Rest sowieso nur um die Ohren fliegen. \quoteoff Ich habe schon weit genug mitgedacht, dass mein Hinweis auch in Zukunft noch hilfreich sein wird, wenn du beide Fälle richtig gelöst hast. \quoteoff Ja Du vielleicht, aber ich doch nicht. Also ich werde das dann Morgen nochmal neu machen.

Wario
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Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22 06:03
\quoteon(2021-06-21 21:51 - Nuramon in Beitrag No. 15) Hier ist der erste Fehler: $$ \dfrac{n-1}{2}-\dfrac{1}{2}\not= \left\lceil{\dfrac{n-1}{2}}\right\rceil$$ \quoteoff Das bezieht sich doch nur auf den Fall, dass $n-1$ ungerade ist. Wurde das jetzt einfach so genommen, ohne das Dazugeschriebene, im Sinne von dass das jetzt immer und überall gilt? Jetzt habe ich da wieder ewig rumgefriemelt, nur um darauf zu kommen, dass die Überlegung eigentlich stimmen sollte: Sei $n-1=N$ $ % \begin{tikzpicture} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \foreach \N in {0,2,...,8}{% N = n-1 \ifnum\N=0 $N,~ N/2,~ \ceil{\frac{N-1}{2}}$\\ \else \N,~~ \pgfmathprint{ (\N)/2 },~ \pgfmathprint{ ceil((\N-1)/2) },~ \\ \fi} \foreach \N in {0,1,3,...,11}{% N = n-1 \ifnum\N=0 $ N,~ \frac{N-1}{2},~ {\frac{N}{2}-\frac12},~ {\frac{N-1}{2}-\frac12},~~~~ \ceil{\frac{N-1}{2}} $ \\ \else \N,~~ \pgfmathprint{ (\N-1)/2 },~~~ \pgfmathprint{ (\N)/2 -1/2},~~~~~~~~~~ \pgfmathprint{ ceil((\N-1)/2-1/2) }, ~~~~~~~~~~~~~~ \pgfmathprint{ ceil((\N-1)/2) },~ \\ \fi} $ Wie dem auch sei $ \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle \begin{array}{l l l} & \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} &&= \ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}-1 \right) \end{array} $ scheint trotzdem nicht zu stimmen. Wenn man solche Summen so nicht auswerten, dann habe ich keine Ahnung.

Nuramon
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Beitrag No.18, eingetragen 2021-06-22 11:41
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Füge deiner Tabelle mal noch die Spalte $\lceil \frac{n-1}2\rceil =\lceil \frac{N}2\rceil $ hinzu. Und versuche doch einfach die Rechnung aus No.10 auf den Fall $n$ gerade zu übertragen.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-22 20:55
\quoteon(2021-06-22 11:41 - Nuramon in Beitrag No. 18) Füge deiner Tabelle mal noch die Spalte $\lceil \frac{n-1}2\rceil =\lceil \frac{N}2\rceil $ hinzu. Und versuche doch einfach die Rechnung aus No.10 auf den Fall $n$ gerade zu übertragen. \quoteoff Das ist zu umständlich rauszufinden, wie sehr das falsch ist. Jedenfalls führen folgende "ok"-Kombinationen zum richtigen Ergebnis. \sourceon \foreach \N in {1,...,11}{ \N,~ \pgfmathprint{ 1/2 *(ceil(1/2 - \N/2)^2 - 3 *ceil(1/2 - \N/2) + floor(\N/2)^2 + floor(\N/2) + 2) },~ \pgfmathprint{ ( ceil((\N)/2)*(ceil((\N)/2) +1) )/2 +( ceil((\N+1)/2)*(ceil((\N+1)/2) -1) )/2 } ok,~ \pgfmathprint{ ( ceil(\N/2+1)*(ceil(\N/2 +1) -1) )/2 +( ceil((\N+1)/2)*(ceil((\N+1)/2) -1) )/2 } ok,~ \pgfmathprint{ ( ceil((\N-1)/2)*(ceil((\N-1)/2) -1) )/2 +( ( ceil((\N+2)/2) -1 ) *( (ceil((\N+2)/2) -1) -1) )/2 } xxx,~ \\} \sourceoff Gerade nur Code, kein TeX Aber irgendwie schaffe ich es nicht, die Fallunterscheidung dafür zu lösen. Ich will das im Geiste eines allgemeinen Verfahrens lösen (also etwa gemäß #10); kein Einzelfallkniff, der mir nie wieder etwas nützt. Die Folge hier ist, wie sich rausstellte, eh unwichtig; aber man kann ja das Verfahren daran üben (also die Herleitung der expliziten Form aus der Dreiecksdarstellung).

Nuramon
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Beitrag No.20, eingetragen 2021-06-22 21:06
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2021-06-22 20:55 - Wario in Beitrag No. 19) Das ist zu umständlich rauszufinden, wie sehr das falsch ist. \quoteoff Weil du es umständlich machst. Interessant sind doch nur die Spalten $\frac{n-1}2-\frac 12$ und $\lceil \frac{n-1}2\rceil$. Warum du den ganzen anderen Kram ausgerechnet hast, weißt nur du. Du könntest auch einfach mal von Hand die Summe für ein paar gerade $n$ ausrechnen. Man sieht ziemlich schnell, was die richtige Formel ist. Und noch eine dritte Möglichkeit: Es ist $\sum_{k=0}^{n-1}f(k) = \sum_{k=0}^{n-2}f(k) + f(n-1)$.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23 01:44
\quoteon(2021-06-22 21:06 - Nuramon in Beitrag No. 20) \quoteon(2021-06-22 20:55 - Wario in Beitrag No. 19) Das ist zu umständlich rauszufinden, wie sehr das falsch ist. \quoteoff Weil du es umständlich machst. Interessant sind doch nur die Spalten $\frac{n-1}2-\frac 12$ und $\lceil \frac{n-1}2\rceil$. Warum du den ganzen anderen Kram ausgerechnet hast, weißt nur du. Du könntest auch einfach mal von Hand die Summe für ein paar gerade $n$ ausrechnen. Man sieht ziemlich schnell, was die richtige Formel ist. Und noch eine dritte Möglichkeit: Es ist $\sum_{k=0}^{n-1}f(k) = \sum_{k=0}^{n-2}f(k) + f(n-1)$. \quoteoff Das hatte ich doch alles erklärt: Das Thema lautet "Umwandlung der Dreieckdarstellung einer Folge in die explizite Form." Dazu möchte ich ein geschlossenes Verfahren aufstellen. Dieses Verfahren scheint mir in der Aufteilung der Summe in gerade und ungerade Summanden zu liegen (#10) - wenn es allgemein besser geht, bittesehr. Aber ich suche nicht die geniale Lösung für einen speziellen Sonderfall, der -wie ich auch schon sagte- völlig irrelevant ist, der hält hier nur noch als Testbeispiel her. Ich verstehe nicht, wieso das so schwer nachvollziehbar ist. Bzw. mir ist es klar (aber ich verstehe diese Denkweise nicht): Der Geisteswissenschaftler, also auch der Mathematiker, will grundsätzlich irgendwelche genialen Einzelbetrachtungen abliefern. So wie der Schriftsteller immer geniale Einzelleistungen zusammenschreiben will. Mittelbar hängt ja eh alles zusammen - basiert ja alles auf den natürlichen Zahlen, steht ja jedes Wort im Wörterbuch, darauf beruft er sich, also grad mal drauf gepfiffen. Es geht um das Verfahren! Und das müsste so gehen, wie ich mir das vorstelle, aber da mache ich etwas falsch bzw. verrechne mich. Diese eine spezielle Folge interessiert doch überhaupt niemanden! Daher nützt mir keine vierte, fünfte, sechste,... Möglichkeit für diese eine spezielle Folge.

Wario
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Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23 16:42
So jetzt aber: $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle \begin{array}{l l} \sum\limits_{j=1}^{N}\ceil{\frac j2} &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P}\ceil{\frac{2p}{2}} \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{\frac{2q-1}{2}} \right\rgroup \\ &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q}\ceil{q-\frac{1}{2}} \right\rgroup \\ &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup %\\ =\dfrac{P(P+1)}{2} +\dfrac{Q(Q+1)}{2} \end{array}$ · Größter Index $P$ von $p$: $N$ gerade $\Rightarrow~ 2p=N ~\Rightarrow~ p=\dfrac{N}{2} =\ceil{\dfrac{N}{2}} =\ceil{\dfrac{N}{2}-\dfrac{1}{2}} =\ceil{\dfrac{N-1}{2}} $ $N$ ungerade $\Rightarrow~ 2p=N-1 ~\Rightarrow~ p=\dfrac{N-1}{2}=\ceil{\dfrac{N-1}{2}}$ $~~~~~\Rightarrow~ P = \ceil{\dfrac{N-1}{2}}$ · Größter Index $Q$ von $q$: $N$ gerade $\Rightarrow~ 2q-1=N-1 ~\Rightarrow~ q=\dfrac{N}{2} =\ceil{\dfrac{N}{2}}$ $N$ ungerade $\Rightarrow~ 2q-1=N ~\Rightarrow~ p=\dfrac{N+1}{2}=\ceil{\dfrac{N}{2}}$ $~~~~~\Rightarrow~ Q = \ceil{\dfrac{N}{2}}$ $\displaystyle \begin{array}{l l l} \Rightarrow & \sum\limits_{j=1}^{N}\ceil{\frac j2} &=\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{P} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{Q} q \right\rgroup %\\ =\left\lgroup \sum\limits_{p=1}^{\ceil{\frac{N-1}{2}}} p \right\rgroup +\left\lgroup \sum\limits_{q=1}^{\ceil{\frac{N}{2}}} q \right\rgroup \\ &&=\dfrac{P(P+1)}{2} + \dfrac{Q(Q+1)}{2} \\ &&=\dfrac{\ceil{\dfrac{N-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{N-1}{2}}+1 \right)}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{N}{2}} \left( \ceil{\dfrac{N}{2}}+1 \right)}{2} \end{array}$ $\Rightarrow$ Ergebnis der Nebenrechnung ($N=n-1$): $\displaystyle \begin{array}{l l l} \sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} &=\dfrac{\ceil{\dfrac{n-2}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-2}{2}}+1 \right)}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\ &= \dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2} & \Bigg|~{\small \text{da}~ \ceil{x+k}=\ceil{x}+k,~~ k \in \mathbb{Z}} \end{array}$

Nuramon
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Beitrag No.23, eingetragen 2021-06-23 17:11
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Gut, jetzt hast du eine richtige Formel. Nur leider in einer Form, die ziemlich unbrauchbar ist. Setze mal $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ in deine Formel ein und vereinfache.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23 17:55
\quoteon(2021-06-23 17:11 - Nuramon in Beitrag No. 23) Gut, jetzt hast du eine richtige Formel. Nur leider in einer Form, die ziemlich unbrauchbar ist. Setze mal $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ in deine Formel ein und vereinfache. \quoteoff Wie, was? So sieht man dann, dass entweder in beiden Fällen das gleiche rauskommt oder man generiert eine Fallunterscheidung? Ich sehe gerade nur die Vereinfachung: $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \dfrac{\ceil{\dfrac{n-2}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-2}{2}}+1 \right)}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\ = \dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2} \Bigg|~{\small \text{da}~ \ceil{n+k}=\ceil{n}+k,~~ k \in \mathbb{Z}} $ Geht es noch vereinfachter?

Nuramon
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Beitrag No.25, eingetragen 2021-06-23 20:29
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Tu doch mal das, was man dir sagt. 🙂 Nimm an $n$ ist gerade, also $n=2a$. Dann vereinfache deinen Term, so dass keine Aufrundklammern mehr vorkommen. Anschließend tu das gleiche mit ungeradem $n$, also $n=2a+1$\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-23 20:51
\quoteon(2021-06-23 20:29 - Nuramon in Beitrag No. 25) Tu doch mal das, was man dir sagt. 🙂 Nimm an $n$ ist gerade, also $n=2a$. Dann vereinfache deinen Term, so dass keine Aufrundklammern mehr vorkommen. Anschließend tu das gleiche mit ungeradem $n$, also $n=2a+1$ \quoteoff Ja, zu Befehl. Ich habe das schon hier niedergeschmiert. Ist ja verblüffend. $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \displaystyle S(n) =\sum\limits_{j=1}^{n-1}\ceil{\frac j2} =\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2}$ $S(2a)=a^2$ und $S(2a+1)=a^2+a$. Das müsste man jetzt aber wieder zusammenfassen. Ich will doch nicht so ein Fallunterscheidungsding da reinbringen.

Nuramon
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Beitrag No.27, eingetragen 2021-06-23 21:01
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Als nächstes willst du ja zu gegebenem $m$ das größte $n$ mit $S(n)\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-24 17:24
\showon Falsch. \quoteon(2021-06-23 21:01 - Nuramon in Beitrag No. 27) Als nächstes willst du ja zu gegebenem $m$ das größte $n$ mit $S(n)0 ~\land~ (a-a_2)<0 ~\Leftrightarrow~ a>a_1 ~\land~ a \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2} ~\land~ a < \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2}$ nicht möglich. II. Fall: $(a-a_1)<0 ~\land~ (a-a_2)>0 ~\Leftrightarrow~ aa_2$ $\Rightarrow %\\ a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2} ~\land~ a > \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} \\ ~\Leftrightarrow~ \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}$ $\Rightarrow a=\dfrac{n_u-1}{2} < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2} ~\Leftrightarrow~ n_u < \sqrt{4m+1}$ $\Rightarrow$ Ergebnis: $n_u =\floor{\sqrt{4m+1}}$ (richtig?) Aber wie geht es jetzt nochmal weiter? \showoff

Nuramon
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Beitrag No.29, eingetragen 2021-06-24 17:59
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Nicht ganz. Erstens wäre es toll, wenn du deine Variablen definierst. Ich gehe davon aus, dass $n_g:= 2\max\{a\in \IN \mid S(2a)\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25 18:03
\showon Falsch. \quoteon(2021-06-24 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 29) Nicht ganz. Erstens wäre es toll, wenn du deine Variablen definierst. Ich gehe davon aus, dass $n_g:= 2\max\{a\in \IN \mid S(2a)0 ~\land~ (a-a_2)<0 ~\Leftrightarrow~ a>a_1 ~\land~ a \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2} ~\land~ a < \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2}$ nicht möglich. II. Fall: $(a-a_1)<0 ~\land~ (a-a_2)>0 ~\Leftrightarrow~ aa_2$ $\Rightarrow %\\ a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2} ~\land~ a > \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} \\ ~\Leftrightarrow~ \dfrac{-\sqrt{4m+1}-1}{2} < a < \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}$ $\Rightarrow~ a \leq \dfrac{\sqrt{4m+1}-1}{2}-1 ~\Leftrightarrow~ a \leq \dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2} \\ ~\Rightarrow~ a_u =\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} =\dfrac{n_u-1}{2} %\\ ~\Leftrightarrow~ \underline{ n_u=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} +1 } $ N.R.: $\begin{array}{l l l} n_u &=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} +1 &= 2\floor{\dfrac{2\sqrt{m+\frac14}-3}{2}} +1 \\ &&< 2\floor{\sqrt{m+\frac14} -\frac32} \\ &&< 2\floor{\sqrt{m}-1} =n_g \end{array}$ $n=\max\{n_g,n_u\} =n_g =\underline{\underline{ 2\floor{\sqrt{m}-1} =n }}$ \showoff

Wario
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Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-27 17:13
\showon Falsch. In #30 scheint etwas falsch zu sein, denn ich komme mit $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} S(n) =\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{n}{2}}}{2} + \dfrac{\ceil{\dfrac{n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{n-1}{2}}+1 \right)}{2} $ (#22) und $k = m-S(n)$ und $n=2\floor{\sqrt{m}-1} \def\n{2\floor{\sqrt{m}-1}} $ (#30) $\displaystyle \begin{array}{l l} a_m &=T(n,k)= \floor{\dfrac{n}{2}}+k \\ &= \floor{\dfrac{\n}{2}} +m -\dfrac{ \left( \ceil{\dfrac{\n}{2}}-1 \right) \ceil{\dfrac{\n}{2}}}{2} - \dfrac{\ceil{\dfrac{\n-1}{2}} \left( \ceil{\dfrac{\n-1}{2}}+1 \right)}{2} \\ &=\dots \\ &=m-1 +\floor{\sqrt{m}} \left( 2-\floor{\sqrt{m}} \right) ~~:~ 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7,\dots \end{array}$ Das erwartete Ergbnis ist aber $1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, 8,\dots$ (#0). \showoff

Nuramon
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Beitrag No.32, eingetragen 2021-06-27 19:57
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ein paar Fehler, die mir in #30 bei oberflächlichem Lesen auffallen: \quoteon ·Ich halte das nicht für sinnvoll, das "S(2a)≤m−1" gleich zu machen und dann durch die Rechnung zu schleifen. \quoteoff Aus $a\in \IN$ und $a<\sqrt m$ folgt nicht, dass $a\leq\sqrt{m}-1$. Mein Hinweis aus No.29 war nicht da um dich zu ärgern. \quoteon N.R.: $\newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \begin{array}{l l l} n_u &=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m+1}-3}{2}} +1 &= 2\floor{\dfrac{2\sqrt{m+\frac14}-3}{2}} +1 \\ &&< 2\floor{\sqrt{m+\frac14} -\frac32} \\ &&< 2\floor{\sqrt{m}-1} =n_g \end{array}$ $n=\max\{n_g,n_u\} =n_g =\underline{\underline{ 2\floor{\sqrt{m}-1} =n }}$ \quoteoff Diese Nebenrechnung ist falsch (das erste $<$ stimmt nicht). Man kann das Maximum auch leider nicht so einfach los werden (zumindest nicht so wie du es versuchst), denn es gibt halt $m$ für die $n_g$ größer ist und es gibt $m$ für die $n_u$ größer ist. Wäre das nämlich nicht so, dann wäre ja $n$ immer gerade bzw. immer ungerade. Wenn es nach diesen Korrekturen noch nicht stimmt, dann schaue ich mir die Rechnung gern noch genauer an.\(\endgroup\)

Nuramon
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Beitrag No.33, eingetragen 2021-06-27 22:48
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2021-06-23 21:01 - Nuramon in Beitrag No. 27) Vielleicht denke ich am Wochenende noch einmal darüber nach, ob es irgendwie einfacher geht. \quoteoff Eine Herleitung der Formel $$ a_m = m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}$$ habe ich noch nicht gefunden, aber immerhin einen Beweis: Bisher haben wir ja den Ansatz verfolgt $T(n,k)= m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}-1})^2}$ (*) zu zeigen, indem wir $n$ und $k$ in Abhängigkeit von $m$ schreiben und dann einsetzen. Andersherum geht es rechnerisch einfacher: Wir schreiben $m$ in Abhängigkeit von $n$ und $k$ und rechnen dann die Gleichung nach. Mit den Bezeichungen wie bisher gilt $m=S(n)+k$ mit $1\leq k \leq \ceil {\frac n2}$. Wenn man jetzt wieder die Fälle $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ unterscheidet, dann lässt sich (*) beide mal recht leicht nachrechnen. Die einzige Schwierigkeit besteht jeweils darin den Term $\floor{\sqrt{4m-3}}$ zu vereinfachen. Wenn man scharf hinsieht und sich an die binomischen Formeln erinnert, dann kann man in beiden Fällen schnell eine natürliche Zahl $x$ mit $x^2 \leq 4m-3 < (x+1)^2$ angeben. Reicht dir das oder soll ich es vorrechnen? Wie man überhaupt auf die Formel (*) kommt, ist damit leider noch nicht geklärt.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-28 21:15
\quoteon(2021-06-24 17:59 - Nuramon in Beitrag No. 29) Nicht ganz. Erstens wäre es toll, wenn du deine Variablen definierst. Ich gehe davon aus, dass $n_g:= 2\max\{a\in \IN \mid S(2a)

Nuramon
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Beitrag No.35, eingetragen 2021-06-29 00:49
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon PS: Der formale Beweis, dass die OEIS-Formel stimmt ist mir weniger wichtig. Mir geht es primär um das Umwandlungsverfahren und die richtig Rechnung zu dieser willkürlichen Beispielfolge. \quoteoff Du scheinst davon auszugehen, dass es so etwas wie einen allgemeinen Lösungsweg gibt, der für jede Dreiecksfolge funktioniert und den man hier nur durchexerzieren muss. Das ist aber nicht so. Ich habe jedenfalls jetzt eine für mich zufriedenstellende Herleitung der Formel $$ a_m = m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}$$ gefunden. Das ist mir aber nur deshalb gelungen, weil ich die in No.33 angedeutete Rechnung durchgeführt habe. Das hat mir dann Ideen gegeben, von denen ich mir eine Herleitung zusammenbasteln konnte. Was ich damit sagen will: Wenn du dich weigerst, dich jemals mit möglicherweise unzufriedenstellenden Beweisen zu beschäftigen, dann werden dir viele Lösungswege verschlossen bleiben, weil dir dann manche Ideen gar nicht erst einfallen werden. Hier ist jetzt meine Herleitung der Formel: Wir haben schon gesehen, dass sich jedes $m\geq 1$ entweder in der Form $m= a^2+k$ mit $1\leq k \leq a$ oder in der Form $m= a^2+a+k$ mit $1\leq k \leq a+1$ schreiben lässt. Außerdem haben wir gesehen, dass in beiden Fällen $a_m = a+k$ gilt. Ziel ist es also eine Formel zu finden, mit der wir die durch $a^2+k \mapsto a+k, a^2+a+k\mapsto a+k$ definierte Abbildung für jedes $m$ berechnen können, ohne die entsprechende Darstellung $m=a^2+k$ bzw. $m=a^2+a+k$ von $m$ explizit kennen zu müssen. Hierzu zunächst noch ein paar Überlegungen: Wegen $(a+\frac 12)^2 = a^2+a+\frac 14$, gilt, dass $m$ genau dann die Form $m=a^2+k$ hat, wenn der Nachkommaanteil von $\sqrt m$ im offenen Intervall $(0, \frac 12)$ liegt. Um Zahlen aus der Menge $\IN \cup (\IN+\frac 12)$ möglichst zu vermeiden, ist es sinnvoll, wenn wir $\sqrt m$ mit $2$ bzw. $m$ mit $4$ multiplizieren. Es ergibt sich $$4m = 4a^2+4k = n^2+4k\qquad \text{bzw.} \qquad 4m = 4a^2+4a+4k= n^2+4k-1,$$ wobei $n=2a$ im ersten und $n=2a+1$ im zweiten Fall gilt. Leider gilt jetzt nicht einfach $n= \floor{\sqrt {4m}}$, denn für $m=a^2+a+k$ gilt $4m=(n+1)^2$, falls $k=a+1$. Aber man sieht leicht, dass in jedem Fall $$n = \floor{\sqrt{4m-3}}$$ gilt. (Randbemerkung: Interessanterweise sieht man hier, dass $\floor{\sqrt{4m-3}} = \floor{\sqrt{4m-2}}= \floor{\sqrt{4m-1}}$ für jedes ganze $m\geq 1$ gilt.) Weiterhin sieht man an $$ 4k+1= 4m- n^2+1 \qquad \text{bzw.} \qquad 4k = 4m-n^2+1,$$ dass in beiden Fällen $$ k = \floor{\frac14(4m-n^2+1)} = m + \floor{\frac14(1-n^2)}$$ gilt. Damit ergibt sich also $$\begin{align*} a_m &= \floor {\frac n2}+k =\floor {\frac n2} +m + \floor{\frac14(1-n^2)}\\ &= \floor{\frac 12 \floor{\sqrt{4m-3}}} + m + \floor{\frac14(1-\floor{\sqrt{4m-3}}^2)} \end{align*}.$$ Um das zur OEIS-Formel $$ a_m = m - \floor{\frac 14(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}$$ zu vereinfachen, müssen wir noch $$ \floor{\frac 12 n} + \floor{\frac14(1-n^2)} = -\floor{\frac 14(n-1)^2}$$ zeigen. Dazu genügt es wieder $n=2a$ bzw. $n=2a+1$ einzusetzen und beide Seiten zu vereinfachen. \(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29 19:19
Die Ergebnisse #34 scheinen zu stimmen, wie folgende Übersicht zeigt. Jetzt bleibt also die Frage, wie man das zusammenfasst. \showon Alt. $ \newcommand\ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} % \begin{tikzpicture} \def\gRes{$a(n_g)=m+\floor{\sqrt{m-1}}-\floor{\sqrt{m-1}}^2 $} \def\uRes{$a(n_u)=m-\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}^2 $} \def\OEISRes{$a(m)=m - \floor{\dfrac{(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}{4}}$} \vbox{\setlength{\topsep}{2pt}% \setlength{\partopsep}{0pt}% \foreach \m in {0,1,...,44}{% \ifnum\m=0 \begin{tabbing} mmm \= \hphantom{\gRes}AA \= \hphantom{\uRes}BB \= \hphantom{\OEISRes} \kill $m:$ \> \gRes, \> \uRes, \> \color{red}\OEISRes %\\ \end{tabbing}% \else \pgfmathsetmacro\gres{int(\m+floor(sqrt(\m-1))-floor(sqrt(\m-1))^2)} \pgfmathsetmacro\ures{int(\m-floor((sqrt(4*\m-3))/2)^2} \pgfmathsetmacro\oeisres{int(\m-floor((floor(sqrt(4*\m-3)-1))^2/4))} \pgfmathsetmacro\gresTest{\gres==\oeisres ? "red" : "black"} \pgfmathsetmacro\uresTest{\ures==\oeisres ? "red" : "black"} \begin{tabbing} mmm \= \hphantom{\gRes}AA \= \hphantom{\uRes}BB \= \hphantom{\OEISRes} \kill \m: \> \color{\gresTest}\gres, \> \color{\uresTest}\ures, \> \color{red}\oeisres %\\ \end{tabbing}% \fi} } $ \showoff Übersichtlicher: $ \newcommand\ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand\tabrow[1]{% \setlength{\topsep}{2pt}% \setlength{\partopsep}{0pt}% \begin{tabbing} AAAA \= BBBB \= CCCC \= DDDD \= EEEEEE \= FFFF \kill% tabhead %1 \> 2 \> 3 %\\ #1 %\\ \end{tabbing}} %Test: \tabrow{1 \> 2 \> 3} % \begin{tikzpicture} \def\gRes{$a(n_g)=m+\floor{\sqrt{m-1}}-\floor{\sqrt{m-1}}^2 $} \def\uRes{$a(n_u)=m-\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}^2 $} \def\OEISRes{$a(m)=m - \floor{\dfrac{(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}{4}}$} n_g=2\floor{\sqrt{m-1}},~~ \gRes \\[1em] n_u=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1,~~ \uRes \\[1em] \OEISRes \\[1em] \foreach \m in {0,1,...,44}{% \ifnum\m=0 \tabrow{$m$ \> $n_g$ \> $a(n_g)$ \> $n_u$ \> $a(n_u)$ \> \color{red}$a(m)$} \else \pgfmathsetmacro\ng{int(2*floor(sqrt(\m-1)))} \pgfmathsetmacro\gres{int(\m+floor(sqrt(\m-1))-floor(sqrt(\m-1))^2)} \pgfmathsetmacro\nu{int(2*floor((sqrt(4*\m-3)-1)/2)+1)} \pgfmathsetmacro\ures{int(\m-floor((sqrt(4*\m-3))/2)^2} \pgfmathsetmacro\oeisres{int(\m-floor((floor(sqrt(4*\m-3)-1))^2/4))} \pgfmathsetmacro\gresTest{\gres==\oeisres ? "red" : "black"} \pgfmathsetmacro\uresTest{\ures==\oeisres ? "red" : "black"} \tabrow{\m \> \color{\gresTest}\ng \> \color{\gresTest}\gres \> \color{\uresTest}\nu \> \color{\uresTest}\ures \> \color{red}\oeisres} \fi}% $

Wario
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Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-29 23:12
Irgendwas ist in der Tabelle (#36) evtl. doch komisch.

Wario
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Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30 02:54
\quoteon(2021-06-29 23:12 - Wario in Beitrag No. 37) Irgendwas ist in der Tabelle (#36) evtl. doch komisch. \quoteoff Nach der Tabelle ist $a(m)=\max\{a(n_g),~ a(n_u)\}$. Ist das nach der Vorbetrachtung klar? Ich dachte es ist $a(m) =a\left( \max\{n_g,~ n_u\} \right)$.

Nuramon
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Beitrag No.39, eingetragen 2021-06-30 11:21
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Ich glaube du hast dich in deiner Tabelle einfach verrechnet: Für $m=2$ müsste $n_u=1$ sein. Hast du vielleicht in der Formel von $n_u$ versehentlich aufgerundet statt abgerundet? Die Formel selbst sollte stimmen.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-30 19:51
\quoteon(2021-06-30 11:21 - Nuramon in Beitrag No. 39) Ich glaube du hast dich in deiner Tabelle einfach verrechnet: Für $m=2$ müsste $n_u=1$ sein. Hast du vielleicht in der Formel von $n_u$ versehentlich aufgerundet statt abgerundet? Die Formel selbst sollte stimmen. \quoteoff Ja, es fehlte ein '-1'. Jetzt sind die Werte wie erwartet. Jetzt wäre also die Frage, wie man das zusammenfasst. Man erkennt bei $a(n_u)$ bereits die Gestalt der erwarteten Folge $a(m).$ \showon $ \newcommand\ceil[1]{\left\lceil#1\right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand\tabrow[1]{% \setlength{\topsep}{2pt}% \setlength{\partopsep}{0pt}% \begin{tabbing} AAAA \= BBBB \= CCCC \= DDDD \= EEEEEE \= FFFF \kill% tabhead %1 \> 2 \> 3 %\\ #1 %\\ \end{tabbing}} %Test: \tabrow{1 \> 2 \> 3} % \begin{tikzpicture} \def\gRes{$a(n_g)=m+\floor{\sqrt{m-1}}-\floor{\sqrt{m-1}}^2 $} \def\uRes{$a(n_u)=m-\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}}^2 $} \def\OEISRes{$a(m)=m - \floor{\dfrac{(\floor{\sqrt{4m-3}}-1)^2}{4}}$} n_g=2\floor{\sqrt{m-1}},~~ \gRes \\[1em] n_u=2\floor{\dfrac{\sqrt{4m-3}-1}{2}} +1,~~ \uRes \\[1em] \OEISRes \\[1em] \foreach \m in {0,1,...,44}{% \ifnum\m=0 \tabrow{$m$ \> $n_g$ \> $a(n_g)$ \> $n_u$ \> $a(n_u)$ \> \color{red}$a(m)$} \else \pgfmathsetmacro\ng{int(2*floor(sqrt(\m-1)))} \pgfmathsetmacro\gres{int(\m+floor(sqrt(\m-1))-floor(sqrt(\m-1))^2)} \pgfmathsetmacro\nu{int(2*floor((sqrt(4*\m-3)-1)/2)+1)} \pgfmathsetmacro\ures{int(\m-floor((sqrt(4*\m-3))/2)^2} \pgfmathsetmacro\oeisres{int(\m-floor((floor(sqrt(4*\m-3)-1))^2/4))} \pgfmathsetmacro\gresTest{\gres==\oeisres ? "red" : "black"} \pgfmathsetmacro\uresTest{\ures==\oeisres ? "red" : "black"} \tabrow{\m \> \color{\gresTest}\ng \> \color{\gresTest}\gres \> \color{\uresTest}\nu \> \color{\uresTest}\ures \> \color{red}\oeisres} \fi}% $ \showoff

Nuramon
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Beitrag No.41, eingetragen 2021-06-30 20:08
\quoteon Jetzt wäre also die Frage, wie man das zusammenfasst. \quoteoff Dazu empfehle ich No.35 zu lesen und zu verstehen.

Wario
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Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-02 21:11
\quoteon(2021-06-30 20:08 - Nuramon in Beitrag No. 41) \quoteon Jetzt wäre also die Frage, wie man das zusammenfasst. \quoteoff Dazu empfehle ich No.35 zu lesen und zu verstehen. \quoteoff Ich würde aber gern die Rechnung zu ende führen und es nicht verwerfen und komplett anders machen.

Nuramon
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Beitrag No.43, eingetragen 2021-07-02 21:30
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Ich habe auch nicht verlangt, dass du alles verwirfst. Aber wenn du No.35 verstanden hast, dann sollte es dir wesentlich leichter fallen, die nächsten Schritte in deinem Ansatz zu finden. Konkret besteht in deinem Ansatz ja immer noch das Problem, das Maximum von $n_g$ und $n_u$ zu bestimmen. Das ist mit den Formeln, die du gefunden hast, nicht so ohne weiteres möglich, weshalb ich dir empfehle einen Schritt zurückzugehen und in No.34 geschickter vorzugehen.\(\endgroup\)

Wario
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Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-03 21:24
\quoteon(2021-07-02 21:30 - Nuramon in Beitrag No. 43) Ich habe auch nicht verlangt, dass du alles verwirfst. Aber wenn du No.35 verstanden hast, dann sollte es dir wesentlich leichter fallen, die nächsten Schritte in deinem Ansatz zu finden. Konkret besteht in deinem Ansatz ja immer noch das Problem, das Maximum von $n_g$ und $n_u$ zu bestimmen. Das ist mit den Formeln, die du gefunden hast, nicht so ohne weiteres möglich, weshalb ich dir empfehle einen Schritt zurückzugehen und in No.34 geschickter vorzugehen. \quoteoff Ich muss ehrlich sagen, dass ich damit überfordert bin. Eine Idee könnte sein, diejenigen Folgen, für die $n_g(m)=\max\{n_g,n_u\}$ bzw. $n_u(m)=\max\{n_g,n_u\}$ wird, in die Ergebnisse $a(n_g)$ bzw. $a(n_u)$ einzusetzen, wobei das gesuchte Ergebnis $a(m)$ entstehen müsste. Diese Folgen müsste man aber ggf. erstmal bestimmen, was also ca. 2mal den gleichen Umfang bedeutet. Das würde so ziemlich ausufern.

Wario
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Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2021-07-09 00:17
Gut, dann ist das Verfahren weitgehend gescheitert, zumindest bei dieser Testfolge. Ich werde die Umwandlung Dreiecksdarstellung zur expliziten Form bei ca. 2-3 anderen Folgen brauchen, die sind wahrscheinlich etwas einfacher, vll. klappt es ja da. Hängt damit zusammen https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=254838 (da ist der zu summierende Term die explizite Form einer Dreiecksfolge).



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Druckdatum: 2021-09-20 16:37