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Thema: Endlicher 1D Potentialtopf
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Juviole
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Themenstart: 2021-06-16 23:30
\quoteon(ursprünglicher Beitrag) Hallo, ich habe ein Problem mit einer Übungsaufgabe, die uns gestellt wurde. Wir haben einen 1D Potentialtopf. Das Potential geht gegen unendlich für x -> +- unendlich. Im Potentialtopf ist das Potential definiert als : V(x) = (D/2)*x^2 wobei D die Federkonstante eines harmonischen Oszillators sein soll, mit der Definition \omega = (D/m_e)^(1/2) als Zusatz. Ebenso wird die Wellenfunktion im Grundzustand gegeben als \psi(x) = b*e^((-sqrt(a)x^2)/2) Die grundsätzliche Aufgabe ist es, die Elektronenenergie im Grundzustand abhängig von \omega zu bestimmen. Dies sollen wir in 4 Teilschritten machen. a) ist das Angeben der zeitunabhängigen Schrödingergleichung. Dies wäre in diesem Fall dann ja -$\hbar$/2m_e*d^2\psi(x)/dx^2 + V(x)\psi(x) = E\psi(x) b) ist das zweimalige Ableiten der gegebenen Wellenfunktion. Da komme ich auf b(ax^2-sqrt(a))e^((-sqrt(a)x^2)/2) So weit so gut. c) ist das Bestimmen von a abhängig von k, m_e und $\hbar$ und d) ist dann das Bestimmen der Elektronenenergie im Grundzustand abhängig von der Kreisfrequenz. Ich hänge nun sehr an c). Ich habe also angefangen mit -$\hbar$^2/2m_e*b(ax^2-sqrt(a))*e^(-1/2*sqrt(a)x^2))+ (D/2)x^2*e^(-1/2*sqrt(a)x^2)) = E*e^(-1/2*sqrt(a)x^2)) , komme da jedoch sehr schnell nicht weiter, da diese Gleichung ja sowohl a als auch Wurzel a enthält und ich grade auf dem Schlauch stehe, inwiefern man da nun einen Ausdruck für a finden soll, der nicht von a selbst abhängt. Die e-Funktion kann man ja einfach rauskürzen da sie in jedem Teil der Gleichung vorhanden ist, aber was gescheites kommt halt, zumindest in meiner Rechnung, nicht rum. Es wäre super duper nett, wenn mir da jemand einen Denkanstoß geben könnte. \quoteoff

semasch
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-17 08:33
Moin Juviole, \quoteon(2021-06-16 23:30 - Juviole im Themenstart) Ich habe also angefangen mit -$\hbar$^2/2m_e*b(ax^2-sqrt(a))*e^(-1/2*sqrt(a)x^2))+ (D/2)x^2*e^(-1/2*sqrt(a)x^2)) = E*e^(-1/2*sqrt(a)x^2)) , komme da jedoch sehr schnell nicht weiter, da diese Gleichung ja sowohl a als auch Wurzel a enthält und ich grade auf dem Schlauch stehe, inwiefern man da nun einen Ausdruck für a finden soll, der nicht von a selbst abhängt. Die e-Funktion kann man ja einfach rauskürzen da sie in jedem Teil der Gleichung vorhanden ist, aber was gescheites kommt halt, zumindest in meiner Rechnung, nicht rum. Es wäre super duper nett, wenn mir da jemand einen Denkanstoß geben könnte. \quoteoff Beim zweiten Summanden auf der linken Seite und bei dem auf der rechten Seite ist dir ein Faktor $b$ verlorengegangen. Mit dem erhält man nach dem Rauskürzen von $b e^{-\frac{\sqrt{a}x^2}{2}}$ die Gleichung \[\left(\frac{D}{2}-\frac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}a\right)x^2+\frac{\hbar^2}{2m_{\text{e}}}\sqrt{a}-E = 0.\] Wenn du hier einen Koeffizientenvergleich machst, erhältst du zwei Gleichungen, mit denen du (c) und (d) lösen kannst. LG, semasch

Juviole
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17 09:26
Hallo, danke für die Antwort. So richtig kenne ich mich mit dem Koeffizientenvergleich nicht aus und grade bei der Gleichung verstehe ich nicht, wie man es anwendet. Also wir haben noch das x^2 und das E drin, sollen diese dann als Koeffizienten für das a genommen werden und bestimmt werden? In c) steht ja auch was in "a abhängig von k" also der Wellenzahl, aber k ist ja in der Gleichung gar nicht mehr drin. Oder muss da das D vorher noch umgeformt werden? Mit freundlichen Grüßen

semasch
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-17 09:38
Mit Koeffizientenvergleich meine ich hier konkret, dass aus dem Verschwinden eines Polynoms, d.h. aus einer Gleichung der Form \[p(x) := \sum_{k = 0}^n a_k x^k = 0\] das Verschwinden sämtlicher Koeffizienten, d.h. $a_k = 0, k = 0, \ldots, n,$ folgt. Wenn du das anwendest, bekommst du die beiden erwähnten Gleichungen. Was das $k$ angeht, da handelt es sich entweder um einen Tippfehler in der Aufgabenstellung oder in deiner Transkription. Es müsste $D$ anstelle von $k$ heißen und dementsprechend ist $a$ auch abhängig von $D, m_{\text{e}}$ und $\hbar$ auszudrücken. LG, semasch

Juviole
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-17 09:43
Okay, dankeschön! Von hier an werde ich es wohl hinkriegen, danke. :) Edit : Okay ja jetzt hab ichs tatsächlich richtig verstanden. Die linke Seite der Gleichung ist ja von x^2 abhängig, die rechte Seite mit dem Wurzel a ist allerdings konstant, also MUSS jeder Summand null werden.



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Druckdatum: 2021-09-19 08:14