Forum:  Topologie
Thema: Ein Funktionsbildproblem
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sulky
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Themenstart: 2021-06-25 10:08
Hallo Zusammen, https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/27687_5.1.3.png Hallo zusammen, diese letze Inklusion, bzw. Gleichung kann ich nicht verstehen. Vielleicht habe ich grundsätzlich einen Knopf mit Funktionesbildern. Insbesondere der Ausdruck $\|S\| B_E$ bin ich mir nicht sicher ob ich ihn richtig verstehe. Möglicherweise die Kugel mit Radius $\|S\|$ aber sich bin ich mir nicht. Jedenfalls ist doch $S(B_E)$ eine Teilmenge von F. Hingegen ist $B_E$ eine Teilmenge von $E$, weil aber $E$ ein Banachraum ist, ist auch $\|S\| B_E\subset E$ Ich sehe nicht, wehalb gewährleitet ist, dass $\|S\| B_E( ?\subset?) F$ weshalb eine Verletzung des Definitionsbereiches von $T$ befürchtet werden muss. Frage: Wie kann ich wissen dass $T(\|S\|B_E)$ definiert ist? Bei der anschliessenden Gleichung wohl wieder dieselbe Frage. Wieso

zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-25 10:29
Das ist ein offensichtlicher Tippfehler und muss $\|S\|\,B_F$ heißen. --zippy

sulky
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25 10:51
Hallo Zippy, Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich werde da mal nachfragen. In der Folge der Beweisführung vermute ich nochmals einen Tippfehler. Ich weiss, dass präkompakt und relativkompakt in gewissen Fällen dasselbe sind. Präkompakt haben wir nur auf metrischen Räumen definiert. Seien $(T_n)_{n\ge 0}\subset K(E,F)$ und $T\in B(E,F)$ sodass $\|T_n-T\|\to 0$. Sei $\epsilon > 0$. Es existiert $n$ sodass $\|T_n-T\|\le \epsilon /3$. Weil $T_n(B_E)$ präkompakt ist..... Wieso ist $T_n(B_E)$ präkompakt? die relative kompaktheit folgt direkt aus der definition des linearen operators. aber wieso präkompakt?

zippy
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Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-25 11:23
\quoteon(2021-06-25 10:51 - sulky in Beitrag No. 2) die relative kompaktheit folgt direkt aus der definition des linearen operators. \quoteoff Sie folgt daraus, das $T_n$ kompakt ist. \quoteon(2021-06-25 10:51 - sulky in Beitrag No. 2) aber wieso präkompakt? \quoteoff Woraus schließt du, dass präkompakt nicht synonym zu relativ kompakt gemeint ist?

sulky
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25 11:58
wir haben eine Definition für präkompaktheit und auch eine für relative kompaktheit. Daher gehe ich nicht davon aus, dass es synonyme sind. Weiter haben wir einen Satz, welcher beziehungen zwischen präkompakt und relativ kompakt aufzeigt. Dieser Satz bezieht sich auf metrische Räume. Im genannten Beispiel geht es um Banachräume. Ich habe mich gefragt ob ein BR immer auch ein MR ist. Schliesslich ist duch die Definition eines BA eine Norm gegen und eine Norm induziert eine Metrik. Daher bin ich unsicher ob ein BR immer als MR betrachtet werden kann.

zippy
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Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-25 12:15
\quoteon(2021-06-25 11:58 - sulky in Beitrag No. 4) Daher bin ich unsicher ob ein BR immer als MR betrachtet werden kann. \quoteoff Ein normierter Raum ist immer auch ein metrischer Raum. Außerdem ist ein Banachraum vollständig, so dass Präkompaktheit im Sinne von Totalbeschränktheit und Präkompaktheit im Sinne von relativer Kompaktheit zusammenfallen.

sulky
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25 12:21
eben doch. dann kann man diesen Satz anwenden und es folgt aus der relativen kompaktheiit gleich die präkompaktheit

zippy
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Beitrag No.7, eingetragen 2021-06-25 12:26
\quoteon(2021-06-25 12:21 - sulky in Beitrag No. 6) und es folgt aus der relativen kompaktheiit gleich die präkompaktheit \quoteoff Das folgt immer. Nur für die andere Richtung benötigt man die Vollständigkeit.

sulky
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2021-06-25 16:57
\quoteon(2021-06-25 10:29 - zippy in Beitrag No. 1) Das ist ein offensichtlicher Tippfehler und muss $\|S\|\,B_F$ heißen. --zippy \quoteoff Also wenn es $(TS)(B_E)\subset T(\|S\|B_F)=\|S\|T(B_F)$ heissen würde, wie von Zippy vorgeschlagen, dann schiene es mir richtig. Allerrdings wäre die Schreibweise für das Bild einer Abbildung nicht so, wie wir es gelernt haben. Ich habe aber nachgefragt. Es heisst tatsächlich $(TS)(B_E)\subset T(\|S\|B_E)=\|S\|T(B_F)$ Weiter schrieb er mir zurück dass $\|S\| B_E \subset F$ aber ich sehe nicht weshalb. Ich frage mich an dieser Stelle, ob es Sätze zu Bildern von Kugeln gibt, welche mir hier fehlen? Vielleicht dass das Bild einer Kugel unter einer stetigen Abbildung wieder ein Kugel ist, oder irgend so was ähnliches. Aber egal ob Kugel oder nicht. Wenn ich $\|S\|B_E$ mit $S(B_E)$ vergleiche, dann können doch das ganz andere Dimensionen sein.

zippy
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Beitrag No.9, eingetragen 2021-06-25 18:04
\quoteon(2021-06-25 16:57 - sulky in Beitrag No. 8) Ich habe aber nachgefragt. Es heisst tatsächlich $(TS)(B_E)\subset T(\|S\|B_E)=\|S\|T(B_F)$ \quoteoff Wenn $B_X$ bei euch die Einheitskugel im Raum $X$ bezeichnet (ist das so?), dann kann das nicht stimmen und ich würde darauf wetten, dass ihr euch gegenseitig missverstanden habt.



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Druckdatum: 2021-09-19 12:03