Forum:  6. Matheplanet Challenge
Thema: Problem 10
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Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
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Themenstart: 2004-10-28 07:58



Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
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Beitrag No.1, eingetragen 2004-11-01 11:05

Hi,

auch wenn diese Aufgabe meine Fähigkeiten weit übersteigt, will ich wenigstens ein Bild beisteuern

fed-Code einblenden

und die Vermutung äußern, dass eine der Konstanten die Catalan-Konstante ist.

Gruß
Rebecca


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Aus: Dresden
Beitrag No.2, eingetragen 2004-11-01 17:47

Hi Dietmar,
eine (mit Sicherheit richtige) Lösung ist da, nur der Beweis noch nicht.
fed-Code einblenden

Der Weg, den ich verfolgt habe, bestand darin, für den Integranden eine Stammfunktion zu finden (was man bei den meisten - aber nicht allen - bestimmten Integralen mit Erfolg tut).
So eine Stammfunktion läßt sich in diesem Fall durch Werte der Eulerschen Dilogarithmusfunktion mit komplexwertigen Argumenten ausdrücken.
Ich werde diese Rechnung, bei der du mich am Anfang beobachtet hast (auf dem MPCT-Treffen), noch zu Ende führen.

Zufällig lief mir bei dieser Rechnung genau derjenige Zahlenwert als ein Zwischenergebnis über den Weg, den auch das Integral hat.
Dieses Zwischenergebnis war aber ein leicht zu bestimmender Wert,
nämlich das besagte 5 Pi2 / 96.

Daß das Zwischenergebnis mit dem Endergebnis übereinstimmt, ist reiner Zufall, und ich konnte es bisher nicht beweisen.
Gruß Buri


[ Nachricht wurde editiert von Buri am 02.11.2004 11:50:56 ]


Rebecca
Senior
Dabei seit: 18.07.2002
Mitteilungen: 6459
Aus: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2004-11-01 18:18

Hi,

nach Buris Beitrag habe ich noch diese Seite gefunden, um meine Vermutung zu retten.

Gruß
Rebecca


Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
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Beitrag No.4, eingetragen 2004-11-01 21:38

Das war schon spannend    Da sitzt Buri zwei Tage lang über ein paar Zettel und später noch an Mathematica, und stößt bei einer Tabellenausgabe von Zwischenergebnissen auf einmal auf 0.514041, was uns ziemlich bekannt vorkam  


Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6820
Aus: Magdeburg
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-01 21:42

Hehe, so soll es auch sein. Aber 5/96*Pi^2 ist leider nicht mal die halbe Miete wegen des fehlenden Beweises. Und das Mathematica und Maple das (noch) nicht können, ist durchaus so gewollt. *grins*

Gruß Eckard


Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Beitrag No.6, eingetragen 2004-11-01 21:45

Ja, du hast Buri mit den mehrdeutigen Funktionen ganz schön gestresst  


viertel
Senior
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 27460
Aus: Hessen
Beitrag No.7, eingetragen 2004-11-01 21:57

@Eckard
Klar, daß Mathematica und Co. an der Aufgabe ersticken. Sonst wäre es albern, nach einem geschlossenen konstanten Ausdruck zu fragen.
Aber das ist auch schon alles, was nach den Regeln und der Frage abgeliefert werden muß. Wobei ein Beweis, bzw hier die Herleitung, schon ein stärkeres Licht auf Buri's Leistung wirft (echt genial, wie er sich durch dieses üble Ding durchgebissen hat).


Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6820
Aus: Magdeburg
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-01 22:07

@Dietmar und Martin: Na klar, keine Frage, dass Buri auch dieses Teil knackt, wenn ihn der Ehrgeiz gepackt hat. Davor ziehe ich meinen Hut! Ich sag ja, ohne die älteren MP-Mitglieder wäre es viel einfacher, einen Punkt mit nach Hause zu nehmen, aber darauf kommt es ja nicht an (und damit will ich absolut nichts gegen die Jüngeren sagen, denken wir nur an Fabis tolle Leistungen bei früheren MPC's).

Und um ehrlich zu sein, dieses Integral ist nicht auf meinem Mist gewachsen, in der Eile der Zeit fiel mir nichts besseres ein als es irgendwo ausfindig zu machen.

Aber, ich weiß noch etwas, was ihr noch nicht wisst!!! :-(

Gruß Eckard


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46211
Aus: Dresden
Beitrag No.9, eingetragen 2004-11-01 22:54

Hi,
@Eckard
du vermutest, daß mich der Ehrgeiz gepackt hat?
Hmm, richtig getippt.
@alle
Für alle, die mitrechnen möchten, meine Zwischenergebnisse in Kurzform, und mein Plan, wie ich Mathematica überlisten möchte (sprich, mir das, was es mir eigentlich nicht geben möchte, doch noch zu geben):
fed-Code einblenden
ich bin dabei, diesen mehrseitigen Output auszuwerten (ganz so schwierig, wie ihr es euch denkt, ist es nicht, weil sich vieles sinngemäß wiederholt, z. B. ist alles, was da ist, auch konjugiert komplex nochmal da usw.).

Kein Zweifel, daß diese Stammfunktion, die ich Mathematica mit List und Tücke entlockt habe, richtig ist. Sie enthält, wie ich schon erwähnte, den Dilogarithmus.

Nur ist sie leider unstetig, denn bei "mehrdeutigen" Funktionen werden Hauptwerte ausgegeben, das geht auch nicht anders, weil es sonst keine Funktionen wären.

Die Berechnung des bestimmten Integrals mittels
F(obereGr) - F(untereGr) liefert daher falsche Ergebnisse.
Man muß den Sprungwert in den Unstetigkeitsstellen (Stichwort: Überquerung von Ufern) subtrahieren bzw. addieren.
Gruß Buri


[ Nachricht wurde editiert von fed am 01.11.2004 22:58:50 ]
[ Nachricht wurde editiert von fed am 02.11.2004 08:31:47 ]


matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
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Aus: Solingen
Beitrag No.10, eingetragen 2004-11-02 13:32

In Tough definite integrals for student challenge wird diese Integral genannt. Eine Lösung stehe in "Solved: problem 10884, Proposed by Zafar Ahmed The American Mathematical Monthly, June 2001."

Eine Idee zur Lösung könnte demnach sein: "the (very interesting) category of 'differentiation under the integral sign' "
In Differentiation under the integral sign wird die Methode kurz erläutert.

fed-Code einblenden


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
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Beitrag No.11, eingetragen 2004-11-02 20:28

Hi matroid,
die geschickte Ergänzung eines Parameters könnte so ähnlich wie
fed-Code einblenden
Gruß Buri


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46211
Aus: Dresden
Beitrag No.12, eingetragen 2004-11-04 19:35

Hi Team,
in kleinen Schritten komme ich voran.
Ein guter Trick könnte darin bestehen, das ursprüngliche Integral auf das Intervall (-1 , 1) zu erweitern, dadurch verdoppelt sich sein Wert, aber die Arbeit, die ich mir vorgenommen habe, halbiert sich, wie schön!
fed-Code einblenden
Das ist das, was ich bis jetzt habe.
Gruß Buri


Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46211
Aus: Dresden
Beitrag No.13, eingetragen 2004-11-04 20:39

Hallo Team,
schlaft ihr da oben... ?
Problem 10 ist noch offen, seht ihr's?
Es muß ein Beweis gegeben werden.
Leider kann ich die Aufgabe nicht einfacher machen, als sie ist.
Gruß Buri


Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Beitrag No.14, eingetragen 2004-11-04 20:42

*schnell-zu-Tobi-und-Sonnhard-zwinker*  


matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14265
Aus: Solingen
Beitrag No.15, eingetragen 2004-11-04 20:55

Nein, wir (?) schlafen nicht, aber ich drehe mich im Kreis.


JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
Mitteilungen: 2146
Aus: Tirol
Beitrag No.16, eingetragen 2004-11-05 13:56

\fedon\mixon
Hallo Team,
das sind meine wechselvollen Erlebnisse mit diesem Integral.

Nach dem ersten Gedanken "Catalan Konstante" (vgl. Rebecca) versuchte ich die Heuristik "Residuensatz" (wenn da andere Grenzen wären...) mit dem Residuum \p^2/4 , und siehe da: Ist A der gesuchte Wert, dann ergibt \p^2/4*1/A=4.800000000 und A=5/96*\p^2 ist numerisch evident.

Mein Beweisansatz waren Reihenentwicklungen. Aber vermeintlich vielversprechende Darstellungen wie

\sum((-1)^n/(2n+1)*\int(1/((x^2+1)*(x^2+2)^(n+1)),x,0,1),n=0,\inf)=A-\p^2/48

oder

c_-2=0 , c_-1=0 , c_0=arctan(sqrt(2))/sqrt(2) , 12n*c_n+(22n-7)*c_(n-1)+(12n-10)*c_(n-2)+(2n-3)*c_(n-3)
=> \sum(((-1)^n*c_n)/(2n+1),n=0,\inf)=A

erwiesen sich (zumindest für mich) als Sackgassen.


Dann habe ich den vollständigen Beweis im Internet entdeckt. Aber wollen wir unsere Punkte wirklich einem Zufallsfund verdanken?

Wie denkt ihr darüber?

Gruß, Heinz
fed-Code einblenden



Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6820
Aus: Magdeburg
Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-05 14:06

Hallo Team,

vielleicht macht meine Antwort eure leichter: Zufallsfund hin oder her, Lösung ist Lösung! (Es wäre in diesem Fall auch unklug, über das Internet zu schimpfen, denn ohne Internet gäbe es keine MPC's ;-)

Ich hätte nie gedacht, dass diese Aufgabe so zum Zähneausbeissen ist. Der Gerechtigkeit halber muss ich ausdrücklich sagen, dass ich die Aufgabe überhaupt auch nur einem Zufallsfund verdanke. Deswegen habe ich vollen Respekt vor Buri, Martin, JohnDoe und allen anderen, die sich damit beschäftigt haben und so weit gekommen sind.

Heinz hat mir gleich zu Beginn der MPC eine PM mit einer Lösung geschickt, die sich mit meiner deckt. Also, was soll's? Lösung ist Lösung ...

Gruß Eckard


robroy
Aktiv
Dabei seit: 21.01.2004
Mitteilungen: 62
Aus: Gainesville, Fl
Beitrag No.18, eingetragen 2004-11-06 06:03

\fedon\mixon\
Hallo Team,

ich hätte folgende Lösung zu bieten:

Durch Matroids Hinweis auf das Differenzieren unter dem Integral habe ich erstmal das einfachste versucht, was mir einfiel, nämlich

I(y)=int((arctan(y sqrt(x^2+2)))/(sqrt(x^2+2) (x^2+1)),x,0,1)

Beim Ableiten wird man dann praktischerweise die Wurzel und den arctan los:

I'(y)=int(1/((y^2(x^2+2)+1) (x^2+1)),x,0,1).

Mathematica integrierte das dankbar ((nach vielen vergeblichen anderweitigen Versuchen mit anderen Integralen)) zu

I'(y)= \pi/(4 (1+y^2)) - (y*arctan(y/sqrt(1+2 y^2)))/((1+y^2) sqrt(1+2y^2))

Nun will man ja I(1) ausrechnen. Weil man I(0)=0 weiß, bot sich folgendes an

I(1)= int( I'(y), y,0,1)=int( \pi/(4 (1+y^2)) - (y*arctan(y/sqrt(1+2 y^2)))/((1+y^2) sqrt(1+2y^2)) , y,0,1)

Der erste Summand macht keine Probleme,

Der zweite allerdings sieht keinen Deut besser als, als das, was man eigentlich ausrechnen will. Hier war dann erstmal laaange Ratlosigkeit und weiteres Rumprobieren angesagt.
Weiter führte hier irgendwann die Substitution y=1/z

int((y*arctan(y/sqrt(1+2 y^2)))/((1+y^2) sqrt(1+2y^2)) , y,0,1) = int((arctan(sqrt(1/(z^2+2))))/((z^2+1) sqrt(z^2+2)) , z,1,\infty)

Das sah nun mal abgesehen von den Integrationsgrenzen fast genauso aus, wie das zu berechnende Integral. Naja, irgendwann kam dann noch die Erkenntnis, dass ja arctan(a)=\pi/2-arctan(1/a) gilt und deswegen folgt weiter

int((y*arctan(y/sqrt(1+2 y^2)))/((1+y^2) sqrt(1+2y^2)) , y,0,1) = \pi/2*int(1/((z^2+1) sqrt(z^2+2)) , z,1,\infty) - int((arctan(sqrt(z^2+2)))/((z^2+1) sqrt(z^2+2)) , z,1,\infty)

Das erste Integral ist nun wieder für Mathematica ein leichter Fall. Das zweite wäre wunderbar, wenn es andere Grenzen, nämlich von 0 bis 1 hätte. Naja, wieder Ratlosigkeit. Irgendwann kam die Einsicht, dass zumindest alles rechts vom Gleichheitszeichen gut wird, wenn man von vornherein nicht

int( I'(y), y,0,1) sondern int( I'(y), y,1,\infty)

ausrechnet. Denn die gleiche Rechnung wie bisher sieht dann so aus:
\align
int( I'(y), y,1,\infty) =int( \pi/(4 (1+y^2)) - (y*arctan(y/sqrt(1+2 y^2)))/((1+y^2) sqrt(1+2y^2)) , y,1,\infty)
= \pi/4*(\pi/2-\pi/4)-\pi/2*int(1/((z^2+1) sqrt(z^2+2)) , z,0,1) + int((arctan(sqrt(z^2+2)))/((z^2+1) sqrt(z^2+2)) , z,0,1)
=\pi^2/16-\pi/2*\pi/6 + I(1)


Naja, und wegen int( I'(y), y,1,\infty)= lim(k->\infty, I(k))-I(1)
ist demnach

I(1)=1/2*(lim(k->\infty, I(k))-\pi^2/16+\pi^2/12 )

Nun ist \lim(k->\infty, arctan(k*sqrt(x^2+2)))=\pi/2 gleichmäßig auf x\in [0,1] und daher

lim(k->\infty, I(k))=\pi/2*int(1/((x^2+1) sqrt(x^2+2)) , x,0,1)=\pi^2/12.

Setzt man das ein, so folgt

I(1)=1/2*(\pi^2/12-\pi^2/16+\pi^2/12 )=5*\pi^2/96.

Puh!

Gruss, Robert
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[ Nachricht wurde editiert von robroy am 06.11.2004 16:17:55 ]


matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
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Aus: Solingen
Beitrag No.19, eingetragen 2004-11-06 09:08

@robroy: Mein Herz klopft laut, wow!


matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14265
Aus: Solingen
Beitrag No.20, eingetragen 2004-11-06 09:55

\fedon\mixonDas sieht gut aus, nur ist systematisch ein Wurzelzeichen im arctan nicht aufgeschrieben. Aber nach der Schlacht, die Robert da geschlagen hat ... eine Kleinigkeit.

Es ist

I(y)=stammf(y*arctan(y*x/(sqrt(2*y^2+1)))/((y^2+1)*sqrt(2*y^2+1))+arctan(x)/(y^2+1),x=0,1)

=y*arctan(y/(sqrt(2*y^2+1)))/((y^2+1)*sqrt(2*y^2+1))+\pi/(4*(y^2+1))


Dann kann ich das alles nachvollziehen.
Super, Robert!
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JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
Mitteilungen: 2146
Aus: Tirol
Beitrag No.21, eingetragen 2004-11-06 11:22

Bravo, Robert!

Gruß, Heinz



Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46211
Aus: Dresden
Beitrag No.22, eingetragen 2004-11-06 15:40

Hi Team,
@Robert
sehr schön gemacht, vielen Dank.
Nach Korrektur unwesentlicher Schreibfehler, Elimination überflüssiger Substitutionen und mit der Erkenntnis, daß das Differenzieren unter dem Integralzeichen eng mit der Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei Doppelintegralen zusammenhängt, kam ich auf diese Lösung:
fed-Code einblenden
Ohne Robert und matroid wäre ich darauf nicht gekommen! Danke!
Gruß Buri

[ Nachricht wurde editiert von Buri am 06.11.2004 16:03:41 ]


robroy
Aktiv
Dabei seit: 21.01.2004
Mitteilungen: 62
Aus: Gainesville, Fl
Beitrag No.23, eingetragen 2004-11-06 16:04

Hallo ihr,

@matroid: Wegen der vielen Schreibfehler muss ich mich entschuldigen, ist ja peinlich. Liegt aber daran, dass ich auch beim Aufschreiben auf meinen Schmierzetteln die Wurzeln im arctan auch nicht mit geschrieben hatte, die waren ohnehin immer da :-)
Wird gleich berichtigt.

@buri: Tja, man hätte es also auch einfach haben können. Sehr hübsch!
     

Gruss, Robert
[ Nachricht wurde editiert von robroy am 06.11.2004 16:09:59 ]


JohnDoe
Senior
Dabei seit: 19.07.2003
Mitteilungen: 2146
Aus: Tirol
Beitrag No.24, eingetragen 2004-11-06 17:05

Toll gemacht, Buri!

Da muss man erst mal drauf kommen.

Gruß, Heinz


Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6820
Aus: Magdeburg
Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07 08:05



Eckard
Senior
Dabei seit: 14.10.2002
Mitteilungen: 6820
Aus: Magdeburg
Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2004-11-07 23:10

Die "Königsaufgabe" war bis kurz vor Schluss mein Problemkind bei dieser MPC. Es freut mich, dass ich hiermit nicht daneben gegriffen habe und sie euch voll herausgefordert hat.

Die 19 Punkte gehören in erster Linie Robert, aber auch JohnDoe (der die Lösung als erster hatte), matroid und Buri haben verbissen (mitunter verzweifelt?) darum gekämpft. Allen Respekt!

Der Sieg ist vollkommen eurer!

100:0 fürs Team. Glückwunsch!

Gruß Eckard


matroid
Senior
Dabei seit: 12.03.2001
Mitteilungen: 14265
Aus: Solingen
Beitrag No.27, eingetragen 2004-11-07 23:17

Bester Eckard,

es ist hier wie im Himmel, je mehr man gibt, desto mehr hat man.

Du hast uns alle Deine Punkte gegeben, aber Du hast die Punkte
gemacht, und wir ernähren uns von Deinen Punkten. Lecker, die Punkte!
Du kannst nicht verlieren, wenn Du ausgibst - ganz im Gegenteil, denk an den Kohlenmunk-Peter (hieß er so?).

Du hast mal geschrieben, eine gute Aufgabe hat 3 Zeilen und kann in etwas 1 Woche bearbeitet werden. Ich stimme Dir zu, solche Aufgaben zu bearbeiten macht mir auch den meisten Spaß. Die MPC, die Du erfunden hast, ist eine Werbung für die Mathematik und den Matheplaneten.

Danke und bis zum nächsten Mal, wer immer uns herausfordern will, wir sind gern bereit!

Gruß
Matroid
[ Nachricht wurde editiert von matroid am 07.11.2004 23:40:45 ]


Martin_Infinite
Senior
Dabei seit: 15.12.2002
Mitteilungen: 39133
Aus: Münster
Beitrag No.28, eingetragen 2005-03-02 21:54

Hi,
 
schaut mal hier auf Seite 12  
 
Interessant ist also folgende Quelle:
 
Zafar Ahmed, "Definitely an Integral", American Mathematical Monthly,
vol. 109 (2002), no. 7, pg. 670–671.

 
 Gruß
Martin
[ Nachricht wurde editiert von Martin_Infinite am 02.03.2005 22:07:55 ]


TobiPfanner
Senior
Dabei seit: 27.07.2003
Mitteilungen: 3622
Aus: Weiler
Beitrag No.29, eingetragen 2005-03-03 09:04

Auch bei mathworld ist dieses Integral
unter dem Namem Ahmed's Integral zu finden
(allerdings ohne Beweis, wie immer).

Gruß Tobi




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Druckdatum: 2020-09-28 15:42