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Antworte auf:  Beschränktheit eines Operators auf dem Rand eines Halbraums zeigen. von Lorentzkurve
Forum:  Funktionalanalysis, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Ex_Senior
 Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-15 13:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich weiß ja nicht, in welchem Kontext diese Aufgabe gestellt wurde, aber ich würde doch vermuten, dass gerade die Existenz des Spuroperators gezeigt werden soll. Wenn ihr das schon in der Vorlesung bewiesen habt, ist das natürlich ok. Sonst warst du im ersten Beitrag schon auf dem richtigen Weg.


Lorentzkurve
Neu
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 2
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-15 12:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo AnnaKath,

das war ein guter Hinweis, vielen Dank :)


AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3141
Herkunft: hier und dort (s. Beruf)
 Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-10 10:24    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu lorentzkurve und herzlich Willkommen auf dem Matheplaneten!

Ist die gesuchte Aussage nicht einfach eine Anwendung des Spuroperators (auf einem beschränkten Gebiet $\Omega \subset \overline{\mathbb{R}^d_+}$ mit $\mathrm{supp} \, u \subset \Omega$) und die Nutzung des Sobolev'schen Einbettungssatzes?

lg, AK.


Lorentzkurve
Neu
Dabei seit: 09.11.2018
Mitteilungen: 2
Herkunft:
 Themenstart: 2018-11-09 16:58    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen, ich hätte eine Frage zur Abschätzung der Norm eines linearen Operators:

Hierbei ist $\mathbb{R}^d_+ = \{x = (x',x_d)\in \mathbb{R}^d: x_d > 0\}$ ein Halbraum im $\mathbb{R}^d$ und $\partial\mathbb{R}^d_+ = \{(x',0): x'\in \mathbb{R}^{d-1}\}\cong \mathbb{R}^{d-1}$ den Rand des Halbraumes.

Sei nun $1 \leq p < \infty$ und $T:C^{\infty}_c(\overline{\mathbb{R}^d_+}) \rightarrow C^{\infty}_c(\mathbb{R}^{d-1})$ definiert über $(Tu)(x') := u(x',0) (x' \in \mathbb{R}^{d-1})$

Ich soll zeigen, dass eine Konstante $C>0$ existiert mit
$||Tu||_{L^p(\mathbb{R}^{d-1})} \leq C||u||_{1,p}$  $u \in C^{\infty}_c(\overline{\mathbb{R}^d_+})$

Wobei hier $||u||_{1,p}$ die Sobolev-Norm bezeichnet.

Meine Idee war es zunächst $u$ durch den Hauptsatz in ein Integral umzuschreiben, bei dem ich die Untergrenze so groß wähle, dass sie wegen des kompakten Trägers verschwindet. Danach weiß ich aber nicht wirklich weiter. Ich weiß nicht wie ich es nach oben gegen die Sobolev-Norm abschätzen soll oder womit.

Ich würde mich über Antworten und Hinweise sehr freuen.

Vielen Dank  smile


 
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