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Antworte auf:  Sind Teilmengen kompakt bezüglich gegebener Metrik von Euler_eleluler
Forum:  Topologie, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Erledigt J


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Themenübersicht
Euler_eleluler
Aktiv
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-17 21:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Sehr schön, damit wäre einiges geklärt. Danke dafür!


darkhelmet
Senior
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2651
Herkunft: Bayern
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-17 20:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi,

das mit den Überdeckungen ist die Definition. Dann gibt es einen Satz (!), dass Teilräume von $\mathbb{R}$ (oder auch $\mathbb{R}^n$) mit der Standardmetrik genau dann kompakt sind, wenn sie beschränkt und abgeschlossen in $\mathbb{R}$ (bzw. $\mathbb{R}^n$) sind. Für Teilräume von $\mathbb{R}$ mit $d_2$ gilt dieser Satz nicht. Diskrete Räume sind genau dann kompakt, wenn sie endlich sind, wie du glaube ich schon selbst erkannt hast.


Euler_eleluler
Aktiv
Dabei seit: 02.02.2019
Mitteilungen: 49
Herkunft:
 Themenstart: 2019-07-17 20:13    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallöchen zusammen,

vorab, ich bin ein ziemlicher Anfänger im ganzen Gebiet metrische Räume. Nun zur Aufgabe:

Wir betrachten die Menge $\mathbb{R}$. Darauf sind einmal $d_1$ die Standardmetrik und $d_2$ die diskrete Metrik.

Welcher der folgenden Mengen sind auf $d_1$ bzw. $d_2$ kompakt?:

$M_1=\{0,1\} \hspace{1cm} M_2=[0,1] \hspace{1cm} M_3=\mathbb{N}$


Meine Ideen zu $d_1$. Ich weiß, dass kompakte Teilmengen abgeschlossen und beschränkt sein müssen. Nun, $M_3$ ist schon mal nicht beschränkt, das fällt also raus. $M_2$ und $M_1$ sind ja nun offensichtlich beide beschränkt und abgeschlossen... Sehe ich das richtig?

Für $d_2$: Dann gibt es noch die Definition, dass eine "Teilmenge A kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung von einer Teilmenge A eine endliche Teilüberdeckung enthält." Wenn ich damit arbeite, seh ich doch, dass $M_2$ dies nicht erfüllt, weil die Menge unendlich Punkte enthält oder? Dabei ist sie doch abgeschlossen und beschränkt (offensichtlich).

Bringe ich da mit den Definitionen was durcheinander? Es müssten doch beide immer gelten.

Hoffe wir bekommen zusammen etwas Licht in den Tunnel. LG


 
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