Antworte auf:  Einführende Literatur zur derivierten Kategorie von Saki17
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Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 645
Herkunft: Fernost
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-25 19:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Danke sehr für deine ausführliche Antwort! Ich werde die genannten Literatur noch genauer anschauen.

Bei uns sind Ringe kommutativ mit Eins vorausgesetzt, daher würde ich zunächst im kommutativen Fall bleiben.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4325
Herkunft: Berlin
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-25 18:38    [Diesen Beitrag zitieren]

Das generelle Problem beim Buch von Weibel ist, dass der Leser / die Leserin letztendlich alles alleine machen muss, und sich Weibel keine Sekunde mit irgendwelchen illustrativen Beweisen, Beispielen oder Erklärungen aufhält. In Abschnitt 10.6 wird das derivierte Tensorprodukt entsprechend im üblichen Schnelldurchlauf "behandelt". Zudem hat das Buch von Weibel eine erdrückend lange Liste von Errata. Trotzdem ist das Buch natürlich immer eine gute Anlaufstelle, vorausgesetzt man kann die Details dann selbst ausarbeiten.
 
Das Stacks Project ist zwar auch sehr sparsam, aber trotzdem viel ausführlicher, und oftmals sehr elegant. Ich kann es daher empfehlen. Die Einführung in derivierte Tensorprodukte müsste ich mir dort aber auch einmal näher ansehen. Im Stacks Project ist mit "Ring" immer "kommutativer Ring" gemeint. Ich weiß nicht, ob dich der nicht-kommutative Fall auch interessiert. In diesem Fall hat man einen Komplex von $A$-Rechtsmoduln $M$ und einen Komplex von $A$-Linksmoduln $N$, dann ist $M \otimes_A^L N$ ein Komplex von abelschen Gruppen. Üblicherweise betrachtet man übrigens bei $\otimes^L$ nach oben beschränkte Kettenkomplexe, aber beim Stacks Project gibt es diese Einschränkung anscheinend nicht, verwiesen wird dabei an einer Stelle auf die Arbeit "Resolutions of unbounded complexes" von Spaltenstein. Ich weiß nicht, ob du diese Allgemeinheit brauchst.
 
Ich habe kurz in einige andere Lehrbücher zur homologischen Algebra geschaut, dort aber keine Einführung gefunden.

Stattdessen kann ich dir aber noch die Notizen von Daniel Murfet empfehlen, also generell, und hier speziell Derived categories of sheaves (wenn du dich nur für Moduln über kommutativen Ringen $A$ interessierst, nimmst du einfach an, dass die geringten Räume $X$ dort nur einen Punkt haben, und ersetzt überall $\mathcal{O}_X$ durch $A$). Daniel Murfet arbeitet in der Regel alles detailliert aus. Er verweist dort als Inspiration auf den Klassiker Residues and duality von Hartshorne und die Notizen Notes on derived categories and Grothendieck duality von Lipman.

Ich habe von diesen Texten noch nichts gelesen und kann nur oberflächliche Einschätzungen geben.


Saki17
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2015
Mitteilungen: 645
Herkunft: Fernost
 Themenstart: 2019-11-25 17:58    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich will einfach mal einige Grundkenntnisse zum sog. derivierten Tensorprodukt (genauer: zum Symbol "$M \otimes_A^L N$", wobei $M, N$ Kettenkomplexe von Moduln über dem Ring $A$) sammeln (und die entsprechende Theorie richtig verstehen).

Was wäre eurer Erfahrung nach ein effektiver Weg das zu machen? Onlinerecherchen liefern das Buch von Weibel (An Introduction to Homological Algebra, Ch.10) bzw. Stacks Project (Ch.15.57) (das scheint mir geeignet zu sein). Lohnt es sich, sich Zeit zu nehmen um diese Materials durchzuarbeiten?

Hintergrund: In einer Vorlesung zu algebraischer K-Theorie hat der Dozent ein paar Eigenschaften des genannten Symbol als bekannt vorausgesetzt bzw. auf das Buch von Gelfand-Manin (Methods in Homological Algebra, Ch.III.7) verwiesen, das ich etwas schwierig zugängig fand...
Ebenso taucht der Begriff "exaktes Dreieck" in der Vorlesung auf (wir haben allerdings vermieden, die triangulierte Kategorie einzuführen).


 
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