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Antworte auf:  Anfangswertproblem DGL-System 1. Ordnung von maxmustermann9991
Forum:  Systeme von DGL, moderiert von: Wally haerter

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Themenübersicht
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.22, eingetragen 2019-12-13 08:09    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo nochmals,

ich muss mich entschuldigen, da ich gleich zwei Dinge übersehen bzw. falsch interpretiert hatte:

- deine allg. Lösung in #10 ist falsch (von dieser sind wir im weiteren aber ausgegangen)
- das in der Mail hatte ich fälschlicherweise als ursprüngliches System verstanden. Es ist aber bereits die allg. Lösung des inhomogenen Systems.

Also kann man festhalten: der eigentliche Rechen- bzw. Denkfehler liegt hier in Beitrag #10. Dein Prof hat jedoch alles richtig gemacht.


Gruß, Diophant


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.21, eingetragen 2019-12-12 13:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich habe es noch geändert, das war ein Copy&Paste-Fehler. Die Abweichungen zwischen Aufgabe und E-Mail lassen sich so aber auch nicht erklären.  biggrin


Gruß, Diophant


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.20, eingetragen 2019-12-12 13:48    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2019-12-12 13:40 - Diophant in Beitrag No. 19 schreibt:

und

Email Professor schreibt:
\[\bpm -8\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\\ 3\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\epm\]

zwei Paar Stiefel.  smile

Und die Lösung aus der Mail bezieht sich auf die dort verwendete Inhomogenität.


Müsste bei dir \(3\cdot\sin(4x)\) lauten.
Was ein Käse, das verwirrt mich jetzt alles zu sehr.  biggrin
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.19, eingetragen 2019-12-12 13:40    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

ich kann hier nicht entscheiden, wer für den Fehler verantwortlich ist. Jedoch sind für mich

2019-11-29 19:28 - maxmustermann9991 im Themenstart schreibt:
\[\begin{pmatrix} -17\sin(4x)-36\cos(4x)\\93\sin(4x)+8\cos(4x) \end{pmatrix}\]

und

Email Professor schreibt:
\[\bpm -8\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\\ 3\sin(4x)-\cos(4x)\epm\]

zwei Paar Stiefel.  smile

Und die Lösung aus der Mail bezieht sich auf die dort verwendete Inhomogenität.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.18, eingetragen 2019-12-12 13:26    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-12-12 13:18 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:

auf eine Art: ja. Denn dabei handelt es sich nicht um das im Themenstart angegebene System. Sprich: die Koeffizienten der Kreisfunktionen aus dem inhomogenen Teil sind in der Lösung deines Profs andere als bei dir im Themenstart.  cool


Das würde doch nun bedeuten, dass er die Lösung falsch angegangen ist, oder irre ich mich da?


Weil die Aufgabe aus dem Themenstart ist eins zu eins so gegeben und ich habe sie auch nochmal kontrolliert - exakt so steht sie drin.



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.17, eingetragen 2019-12-12 13:18    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-12 13:07 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 16 schreibt:
Email Professor schreibt:

Die Größen \(C_{11},C_{12},C_{21},C_{22}\) sind nicht unabhängig voneinander und können daher auch nicht eindeutig über das AWP gelöst werden. Die Vektoren \(\begin{pmatrix} C_{11}\\C_{21} \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} C_{12}\\C_{22} \end{pmatrix}\) sind (lin. unabhängige) Eigenvektoren der Matrix (also zu \(\lambda_1=-4\) und \(\lambda_2=-10\)). Wenn \(C_{11}=1\rightarrow C_{21}=1\) und \(C_{12}=1\rightarrow C_{22}=7\).
EINE homogene Lösung ist dann \(\vec{y}_{h1}=EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}\), EINE weitere \(\vec{y}_{h2}=EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}\)
Da die EV nicht eindeutig sind lautet die allgemeine Lösung:
\(\vec{y}_{h}=C_1\cdot EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}+C_2\cdot EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}\)
Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) sind jetzt die 2 Konstanten, die über das AWP bestimmt werden.
\(y_1=C_1\cdot e^{-4x}+C_2\cdot e^{-10x}-8\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\)
\(y_2=C_1\cdot e^{-4x}+7\cdot C_2\cdot e^{-10x}+3\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\)
\(y_1(0)=-14=C_1+C_2-1\)
\(y_2(0)=-62=C_1+7\cdot C_2-1\)
Folgt:
\(y_2(0)-y_1(0)=-48=6\cdot C_2\rightarrow C_2=-8\rightarrow C_1=-5\)


\(y_1(0.6)= -5.1397315\)
\(y_2(0.6)=  2.1714\)


Hilft das hier irgendwie nun weiter?

auf eine Art: ja. Denn dabei handelt es sich nicht um das im Themenstart angegebene System. Sprich: die Koeffizienten der Kreisfunktionen aus dem inhomogenen Teil sind in der Lösung deines Profs andere als bei dir im Themenstart.  cool


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.16, eingetragen 2019-12-12 13:07    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Email Professor schreibt:

Die Größen \(C_{11},C_{12},C_{21},C_{22}\) sind nicht unabhängig voneinander und können daher auch nicht eindeutig über das AWP gelöst werden. Die Vektoren \(\begin{pmatrix} C_{11}\\C_{21} \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} C_{12}\\C_{22} \end{pmatrix}\) sind (lin. unabhängige) Eigenvektoren der Matrix (also zu \(\lambda_1=-4\) und \(\lambda_2=-10\)). Wenn \(C_{11}=1\rightarrow C_{21}=1\) und \(C_{12}=1\rightarrow C_{22}=7\).
EINE homogene Lösung ist dann \(\vec{y}_{h1}=EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}\), EINE weitere \(\vec{y}_{h2}=EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}\)
Da die EV nicht eindeutig sind lautet die allgemeine Lösung:
\(\vec{y}_{h}=C_1\cdot EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}+C_2\cdot EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}\)
Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) sind jetzt die 2 Konstanten, die über das AWP bestimmt werden.
\(y_1=C_1\cdot e^{-4x}+C_2\cdot e^{-10x}-8\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\)
\(y_2=C_1\cdot e^{-4x}+7\cdot C_2\cdot e^{-10x}+3\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\)
\(y_1(0)=-14=C_1+C_2-1\)
\(y_2(0)=-62=C_1+7\cdot C_2-1\)
Folgt:
\(y_2(0)-y_1(0)=-48=6\cdot C_2\rightarrow C_2=-8\rightarrow C_1=-5\)


\(y_1(0.6)= -5.1397315\)
\(y_2(0.6)=  2.1714\)


Hilft das hier irgendwie nun weiter?
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.15, eingetragen 2019-12-09 08:46    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-12-08 22:32 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 14 schreibt:
Habe dem Prof mal eine Mail nun geschrieben und warte auf seine Begründung für die Lösung.

Ja, gute Idee. Ich denke, da ist irgendwo unterwegs ein Fehler in die Aufgabe gekommen.

Bzgl. deiner Frage aus #12: ist dir jetzt klar, dass das AWP längst (bis auf fragliche Fehler in der Konstanten \(C_{22}\)) gelöst ist und du nur noch den Wert \(0.6\) einsetzen musst?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.14, eingetragen 2019-12-08 22:32    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Jetzt blicke ich hier gar nicht mehr durch.
Die Lösung soll laut Programm \(C_{21}=1\) und \(C_{22}=7\) sein.

Habe dem Prof mal eine Mail nun geschrieben und warte auf seine Begründung für die Lösung.
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.13, eingetragen 2019-12-08 21:51    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

jetzt komme ich nicht mehr so ganz mit: das AWP hast du doch oben schon gelöst (Beitrag #10)...

Wegen dem angeblichen Fehler: wenn da etwas ganzzahliges herauskommen soll so vermute ich einen Fehler beim Anfangswert \(y_2(0)=-62\). Für den Wert -64 hätte man hier \(C_{22}=-11\). Tippe das doch mal ein, spaßeshalber...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-08 21:18    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Hmm... da muss ich dann nochmal meinen Prof anschreiben, wieso meine Lösung als inkorrekt angezeigt wird.

Die nächste Frage, die dann käme is folgende:

Bestimmen Sie jetzt die spezielle Lösung des Anfangswertproblems (Anfangswerte oben). Berechnen Sie mit diesen Lösungen die Funktionswerte an der Stelle \(0,6\).

Gesucht:

$$y_1(0,6)=$$ $$y_2(0,6)=$$
Wie löse ich das? Wo muss ich nun die \(0,6\) einsetzen?
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2736
Herkunft: Rosenfeld, BW
 Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-08 13:11    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

wie kommst du darauf, dass diese Konstanten falsch sind? Ich habe jetzt mehrfach nachgerechnet und einen einzigen Fehler entdeckt, der sich jedoch auf deine Rechnung nicht auswirken sollte. Bei der Addition der Sinuskomponenten in der zweiten Zeile hast du dich verrechnet, das sollte so aussehen:

\[y_{allg.}=\begin{pmatrix} C_{11}\cdot e^{-4x}+C_{21}\cdot e^{-10x}+4\cdot\sin(4x)-32\cdot\cos(4x)\\C_{12}\cdot e^{-4x}+7\cdot C_{22}\cdot e^{-10x}+4\cdot\sin(4x)+12\cdot\cos(4x) \end{pmatrix}\]
Da der Sinus aber Null wird beim Einsetzen, wirkt sich das wie gesagt nicht aus und ich bin geneigt, deine Lösung für korrekt zu befinden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-08 11:58    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
$$y_{allg}=y_h+y_{part}$$ $$=C_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\cdot e^{-4x}+C_2\cdot \begin{pmatrix} 1\\7 \end{pmatrix}\cdot e^{-10x}+\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 7 & -11 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -8\cdot\sin(4x)-\cos(4x)\\3\cdot\sin(4x)-\cos(4x) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -17\cdot\sin(4x)-36\cdot\cos(4x)\\93\cdot\sin(4x)+8\cdot\cos(4x) \end{pmatrix}$$ $$=\begin{pmatrix} C_{11}\cdot e^{-4x}+C_{21}\cdot e^{-10x}+4\cdot\sin(4x)-32\cdot\cos(4x)\\C_{12}\cdot e^{-4x}+7\cdot C_{22}\cdot e^{-10x}+125\cdot\sin(4x)+12\cdot\cos(4x) \end{pmatrix}$$
In der Aufgabe steht, dass ich \(C_{21}\) und \(C_{22}\) bestimmen soll, wenn \(C_{11}=1\) und \(C_{12}=1\) gilt.
Mit dem AWP: \(y_1(0)=-14\) und \(y_2(0)=-62\).

$$\begin{pmatrix} y_1(0)\\y_2(0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{-4\cdot0}+C_{21}\cdot e^{-10\cdot0}+4\sin(4\cdot0)-32\cos(4\cdot0)\\e^{-4\cdot0}+7C_{22}\cdot e^{-10\cdot0}+125\sin(4\cdot0)+12\cos(4\cdot0) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -14\\-62 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 1+C_{21}-32\\1+7C_{22}+12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -14\\-62 \end{pmatrix}$$
Folgt:
$$C_{21}=17$$ $$C_{22}=-\frac{75}{7}\approx-10,714$$

Diese Konstanten sind allerdings falsch, wo liegt mein Fehler?

\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2660
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.9, eingetragen 2019-12-02 06:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Wie habt ihr es in der Vorlesung gelernt? Irgendwo müsst ihr doch lineare inhomogene Differentialgleichungen behandelt haben.

Das erste, was du ausgerechnet hast, war die homogene Lösung
\[y_h(x)=C_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\cdot e^{-4x}+C_2\cdot \begin{pmatrix} 1\\7 \end{pmatrix}\cdot e^{-10x}.\]
Das zweite (das mit $a,b,c,d$) war die partikuläre Lösung. Du addierst beide, das ist dann die allgemeine Lösung. Nun musst $C_1$ und $C_2$ so wählen, dass die allgemeine Lösung die Anfangsbedingungen erfüllt.


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.8, eingetragen 2019-12-01 14:21    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Jawohl, sie wird gelöst dadurch.
Wie gehe ich dann für die Aufgabe weiter vor?


mit den Anfangswerten: \(y_1(0)=-14\), \(y_2(0)=-62\)

Gesucht wird die Lösungsfunktion und dementsprechend a und b aus den folgenden Lösungsfunktionen, die herauskommen können:
\(y_{h1}=C_{11}*e^{ax}+C_{12}*e^{bx} \) und \(y_{h2}=C_{21}*e^{ax}+C_{22}*e^{bx} \)
oder
\(y_{h1}=e^{ax}*[C_{11}*cos(bx)+C_{12}*sin(bx)]\) und \(y_{h2}=e^{ax}*[C_{21}*cos(bx)+C_{22}*sin(bx)]\)

Danach sollen die Koeffizienten \(C_{21}\) und \(C_{22}\) bestimmt werden, wenn \(C_{11}=1\) und \(C_{12}=1\) gilt.

\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2660
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-01 13:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Es ist beides nicht notwendig. Falls du dir unsicher bist, mach nochmal eine Probe. Löst deine Funktion die DGL?


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-01 13:02    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Dann komme ich auf folgende Koeffizienten:

$$a=-8$$ $$b=-1$$ $$c=3$$ $$d=-1$$
Rechenweg nötig oder hast du ebenfalls diese Koeffizienten herausbekommen?
\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2660
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-01 12:08    [Diesen Beitrag zitieren]

2019-11-30 21:45 - maxmustermann9991 in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-11-30 21:29 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
nun versuche eine Lösung der Form
\[y(x)=\begin{bmatrix}a\sin(4x)+b\cos(4x)\\c\sin(4x)+d\cos(4x)\end{bmatrix}\] zu finden. Setze dies in deine DGL ein und vielleicht kommst du dann auf ein lineares Gleichungssystem mit vier Variablen.

Entschuldigung, aber jetzt steige ich leider aus, dem kann ich ehrlich gesagt nicht mehr folgen.  confused

Ok, wir suchen $a,b,c,d$, sodass für alle $x\in \mathbb{R}$ gelte
\[
\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\begin{bmatrix}a\sin(4x)+b\cos(4x)\\c\sin(4x)+d\cos(4x)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 7 & -11\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\sin(4x)+b\cos(4x)\\c\sin(4x)+d\cos(4x)\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -17\sin(4x)-36\cos(4x)\\93\sin(4x)+8\cos(4x) \end{bmatrix}
\]
Jetzt musst du bei der linken Seite ableiten und auf der rechten Seite ausmultiplizieren und anschließend einen Koeffizientenvergleich zwischen beiden Seiten machen.


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-30 21:45    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2019-11-30 21:29 - ochen in Beitrag No. 3 schreibt:
nun versuche eine Lösung der Form
\[y(x)=\begin{bmatrix}a\sin(4x)+b\cos(4x)\\c\sin(4x)+d\cos(4x)\end{bmatrix}\] zu finden. Setze dies in deine DGL ein und vielleicht kommst du dann auf ein lineares Gleichungssystem mit vier Variablen.

Entschuldigung, aber jetzt steige ich leider aus, dem kann ich ehrlich gesagt nicht mehr folgen.  confused
\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2660
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-30 21:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Sehr gut,

nun versuche eine Lösung der Form
\[y(x)=\begin{bmatrix}a\sin(4x)+b\cos(4x)\\c\sin(4x)+d\cos(4x)\end{bmatrix}\] zu finden. Setze dies in deine DGL ein und vielleicht kommst du dann auf ein lineares Gleichungssystem mit vier Variablen.


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-30 20:11    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Dann komme ich auf Folgendes, wenn ich den Vektor weglasse:


Aus:
$$C_1\cdot EV_1\cdot e^{\lambda_1\cdot x}+C_2\cdot EV_2\cdot e^{\lambda_2\cdot x}$$ $$EV=Eigenvektor$$ folgte:
$$\begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}=C_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\cdot e^{-4x}+C_2\cdot \begin{pmatrix} 1\\7 \end{pmatrix}\cdot e^{-10x}$$
\(\endgroup\)

ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2660
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-29 23:53    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo, lass den zusätzlichen Vektor erst einmal weg und löse die homogene Differentialgleichung (also die ohne den Vektor).


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 246
Herkunft:
 Themenstart: 2019-11-29 19:28    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Es soll das Anfangswertproblem des folgenden DGL-Systems 1. Ordnung gelöst werden.

\(y'_1=-3y_1-1y_2-17sin(4x)-36cos(4x)\)
\(y'_2=7y_1-11y_2+93sin(4x)+8cos(4x)\)

mit den Anfangswerten: \(y_1(0)=-14\), \(y_2(0)=-62\)

Gesucht wird die Lösungsfunktion und dementsprechend a und b aus den folgenden Lösungsfunktionen, die herauskommen können:
\(y_{h1}=C_{11}*e^{ax}+C_{12}*e^{bx} \) und \(y_{h2}=C_{21}*e^{ax}+C_{22}*e^{bx} \)
oder
\(y_{h1}=e^{ax}*[C_{11}*cos(bx)+C_{12}*sin(bx)]\) und \(y_{h2}=e^{ax}*[C_{21}*cos(bx)+C_{22}*sin(bx)]\)

Danach sollen die Koeffizienten \(C_{21}\) und \(C_{22}\) bestimmt werden, wenn \(C_{11}=1\) und \(C_{12}=1\) gilt.

Ich habe das Ganze mal jetzt in Matrixschreibweise aufgeschrieben:

\(\begin{pmatrix} y'_1\\y'_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 7 & -11\end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1\\y_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -17sin(4x)-36cos(4x)\\93sin(4x)+8cos(4x) \end{pmatrix}\)

Nun bräuchte ich erneut einen Ansatz, wie ich hier vorgehe, da mich gerade dieser "Zusatzvektor" mit den trigonometrischen Funktion etwas irritiert.
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