Antworte auf:  Gleichgewichtslösung autonomer nichtlinearer DGL von maxmustermann9991
Forum:  Systeme von DGL, moderiert von: Wally haerter

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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1613
Herkunft: Bochum
 Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-16 11:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ja, das Ergebnis passt, jetzt müsstest Du noch <math>(y_1,y_2)=(-1,1)</math> einsetzen und dann stellt sich leider heraus, dass die Stabilität sich mit der Jacobimatrix alleine hier nicht bestimmen lässt.

Wenn die Aufgabe so gestellt war, wie im Anfangspost dargestellt ("soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist"), dann führt das zu keiner Entscheidung.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 272
Herkunft:
 Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-15 14:09    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
2019-12-15 00:23 - haerter in Beitrag No. 5 schreibt:
Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Die \(y_1'\)-Gleichung nach \(y_1\) abgeleitet ergibt:

\(((9y_1+9y_2)^{3})'=3\cdot(9y_1+9y_2)^2\cdot9=27\cdot(9y_1+9y_2)^2
\)

Die \(y_1'\)-Gleichung nach \(y_2\) abgeleitet ergibt:

\(((9y_1+9y_2)^{3})'=3\cdot(9y_1+9y_2)^2\cdot9=27\cdot(9y_1+9y_2)^2
\)


Die \(y_2'\)-Gleichung nach \(y_1\) abgeleitet ergibt:

\((-4y_1-3y_2-1)'=-4\)


Die \(y_2'\)-Gleichung nach \(y_2\) abgeleitet ergibt:

\((-4y_1-3y_2-1)'=-3\)


Folgt für die Jacobi-Matrix:

$$A_1=\begin{pmatrix} 27\cdot(9y_1+9y_2)^2 & 27\cdot(9y_1+9y_2)^2 \\ -4 & -3 \end{pmatrix}$$

War das so gemeint oder habe ich hier einen Denkfehler?
\(\endgroup\)

haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1613
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 Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-15 00:23    [Diesen Beitrag zitieren]

Damit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gemeint.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
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Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-14 21:25    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Was sind denn in meiner Aufgabe die Funktionen \(f_1\) und \(f_2\) die ich nach \(y_1\) und \(y_2\) jeweils ableiten muss?
\(\endgroup\)

haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1613
Herkunft: Bochum
 Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-13 22:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,
wie Du selbst geschrieben hast: Die Jacobi-Matrix an der Stelle (-1,1) auswerten und schauen, wo die Eigenwerte liegen.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 272
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-13 19:48    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Aus \(y_1'=0\) folgt:
$$(9y_1+9y_2)^3=0$$ $$9y_1+9y_2=0$$ $$y_1=-y_2$$
Aus \(y_2'=0\) und \(y_1=-y_2\) folgt:
$$-4y_1-3y_2-1=0$$ $$-4y_1+3y_1-1=0$$ $$-1y_1=1$$ $$y_1=-1$$
Und somit:
$$y_2=1$$
Somit folgt dies:
$$\vec{y}=\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}$$
Wie sieht der nächste Schritt aus um die Stabilität zu bestimmen?
\(\endgroup\)

haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1613
Herkunft: Bochum
 Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-13 19:15    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

der erste Schritt bedeutet, dass die rechte Seite gleich Null gesetzt wird und man die Lösungen dieser (nicht)linearen Gleichung bestimmt.

Viele Grüße,
haerter


maxmustermann9991
Aktiv
Dabei seit: 28.02.2016
Mitteilungen: 272
Herkunft:
 Themenstart: 2019-12-13 17:30    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\pmatrix}{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}\)
Es soll die Gleichgewichtslösung des autonomen nichtlinearen DGL-Systems gelöst werden.

$$y_1'=(9y_1+9y_2)^3$$ $$y_2'=-4y_1-3y_2-1$$ $$\begin{pmatrix} y_{1_{GG}}\\y_{2_{GG}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ?\\? \end{pmatrix}$$
Und anschließend soll mit der Jacobi-Matrix bestimmt werden, ob es ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht ist.

Im Skript finde ich folgenden Ansatz:

1) Bestimmen der Gleichgewichtslösung durch:
\(\vec{y'}=\vec{0}\)
Bestimme \(\vec{y_0}\) mit \(A(\vec{y_0})=\begin{pmatrix} f_1(y_1,y_2)\\f_2(y_1,y_2) \end{pmatrix}=\vec{0}\)

2) Linearisierung der Matrix in der Umgebung der Gleichgewichtslösung:
\(A(\vec{y})\approx A_1(\vec{y_0})\cdot (\vec{y}-\vec{y_0})+A_2(\vec{y})\)

3) Jacobi-Matrix:
\(A_1=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{y_1} & \frac{\partial f_1}{y_2} \\ \frac{\partial f_2}{y_1} & \frac{\partial f_2}{y_2} \end{pmatrix}
\)

4) Eigenwerte \(\lambda_i\) zur Matrix \(A_1\) finden.

5) \(Re\cdotλ_i<0\rightarrow \text{ stabile Lösung }\)
\(Re\cdotλ_i=0\rightarrow \text{ meist stabile Lösung }\)


Nun habe ich allerdings Probleme zu verstehen, wie man mit Schritt 1 schon anfängt.
\(\endgroup\)

 
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