Antworte auf:  Determinante bei komplexer bzw. reeller Transformation. von Skalhoef
Forum:  Determinanten, moderiert von: Fabi Dune ligning

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 
 


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1254
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28 02:15    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-28 01:31 - Skalhoef in Beitrag No. 3 schreibt:
Und ich hätte jetzt gedacht, dass die Matrix $A$ die ich im Themenstart genannt habe einfach die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis (also $\mathbb{A} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und $\mathbb{B} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und ist. (Mit $N$ wie im Themenstart.)

Das passt aber doch nicht dazu, dass du $A$ im Themenstart als $2N\times2N$-Matrix definiert hast:

2020-01-13 03:52 - Skalhoef im Themenstart schreibt:
wobei $A \in \mathbb{C}^{2N \times 2N}$, $\vec{\Psi} \in \mathbb{C}^N$

Die $2N\times2N$-Matrix $A$ aus dem Themenstart hängt mit der $N\times N$-Matrix $\underline A$, die durch $\vec\Psi'=\underline A\vec\Psi$ definiert ist, über$$ A=\begin{pmatrix}\underline A&0\\0&\underline A^*\end{pmatrix}
$$zusammen.

Wenn wir die Standardbasis des $\mathbb C^{2N}$ mit $E=(e_1,\ldots,e_N,e_{N+1},\ldots,e_{2N})$ bezeichnen, ist $\tilde A$ die Darstellung von $A$ in der Basis $F=(f_1,\ldots,f_N,f_{N+1},\ldots,f_{2N})$ mit$$ f_1=e_1+e_{N+1},\ldots,f_N=e_N+e_{2N},
f_{N+1}=i(e_1-e_{N+1}),\ldots,f_{2N}=i(e_N-e_{2N})\;.$$


Skalhoef
Aktiv
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 192
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-28 01:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zippy,

vielen Dank für die Antwort.

2020-01-13 21:46 - zippy in Beitrag No. 2 schreibt:
(...) denn dann wird offensichtlich, dass sich $A$ und $\tilde A$ nur um einen Basiswechsel unterscheiden und somit die gleiche Determinante haben. (...)

Irgendwie will der Groschen nicht fallen...
Ich begreife nicht ganz wie man das auf eine Basistransformation zurückführen kann:
Vielleicht vermittele ich kurz meinen Kenntnissstand und möglicherweise kannst du mir dann an gegebener Stelle auf die Sprünge helfen:

Für einen $\mathbb{K}$-Vektorraum $V$ seien $\mathbb{A} = \{ v_1, \ldots, v_n\}$ und $\mathbb{B} = \{ w_1, \ldots, w_n\}$ als Basen gegeben, s.d. also für $v \in V$ jeweils eine Zerlegung

$$ v = \sum_i \lambda_i v_i = \sum_i \mu_i w_i \text{.}
$$
Weiter definiert man dann Koordinatenabbildungen $p_{\mathbb{A}} : V \rightarrow \mathbb{K}^n$ durch $\sum_i \lambda_i v_i \mapsto p_{\mathbb{A}}(v) := (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)^{T}$ und analog für $p_{\mathbb{B}}$.

Und dann definiert man doch die darstellende Matrix eines Endomorphismus $\varphi$ als

$$ M(\varphi)_{\mathbb{B}}^{\mathbb{A}} := \left(p_{\mathbb{B}} (\varphi(v_1), \ldots, p_{\mathbb{B}} (\varphi(v_n)) \right)
$$
Und ich hätte jetzt gedacht, dass die Matrix $A$ die ich im Themenstart genannt habe einfach die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis (also $\mathbb{A} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und $\mathbb{B} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_N\}$ und ist. (Mit $N$ wie im Themenstart.)

Ich verstehe nicht wie man jetzt $\widetilde{A}$ als darstellende Matrix der gleichen Abbildung bezüglich einer anderen Basis verstehen kann...



Grüße
Skalhoef


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1254
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-13 21:46    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-01-13 03:52 - Skalhoef im Themenstart schreibt:
Ich vermute i.A. nicht oder?

Doch, das gilt ganz allgemein. Am einfachsten siehtst du das, wenn du die Transformationen für zwei beliebige Vektoren $\vec\Psi^{(1)}\!,\vec\Psi^{(2)}\!\in\mathbb C^N$ statt $\vec\Psi$ und $\vec\Psi^*$ sowie$$ \vec\Psi^{({\rm re})}:=\frac12\Bigl(\vec\Psi^{(1)}+\vec\Psi^{(2)}\Bigr)
\;,\quad
\vec\Psi^{({\rm im})}:=\frac1{2i}\Bigl(\vec\Psi^{(1)}-\vec\Psi^{(2)}\Bigr)
$$statt $\operatorname{Re}\vec\Psi$ und $\operatorname{Im}\vec\Psi$ aufschreibst, denn dann wird offensichtlich, dass sich $A$ und $\tilde A$ nur um einen Basiswechsel unterscheiden und somit die gleiche Determinante haben.

--zippy


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 773
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-13 08:47    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

die zweite Bedingung kann fast immer erfüllt werden, völlig unabhängig von der ersten Bedingung. Solange $(\operatorname{Re} \Psi, \operatorname{Im} \Psi) \neq (0,0)$ gibt, gibt es eine lineare Abbildung, welche diesen Vektor auf $(\operatorname{Re} \Psi', \operatorname{Im} \Psi')$ schickt.

Wenn wir die Darstellungsmatrix betrachten, die von einer Basis mit $(\operatorname{Re} \Psi, \operatorname{Im} \Psi)$ und weiteren Vektoren auf $\mathbb{C}^N$ schickt, so nimmt obige Information nur eine Spalte ein. Mit den restlichen Spalten können wir die Determinante beliebig formen. Wir können also jede Determinante erzeugen. (Mit Basiswechsel kommen wir an die Matrix bzgl. Standardbasen. Das ändert nicht die Determinante der Matrix.)

Wir haben also gezeigt: Seien $x,y$ aus einem $\mathbb{R}$-Vektorraum $V$ mit endlicher Dimension und $x \neq 0$ sowie $r \in \mathbb{R}$. Dann gibt es eine lineare Abbildung $\varphi : V \to V$ mit $\varphi(x) = y$ und $\det(\varphi) = r$.


Skalhoef
Aktiv
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 192
Herkunft:
 Themenstart: 2020-01-13 03:52    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi,

es gelte

$$ \left(\begin{array}{c} \vec{\Psi}^{\prime}  \\ \left(\vec{\Psi}^{\prime}\right)^{*}  \end{array}\right) = A \left(\begin{array}{c} \vec{\Psi} \\ \left(\vec{\Psi}\right)^{*}  \end{array}\right) \, \text{mit } |\det A \, |= x \text{.}
$$
wobei $A \in \mathbb{C}^{2N \times 2N}$, $\vec{\Psi} \in \mathbb{C}^N$ usw.

Folgt dann auch

$$ \left(\begin{array}{c} \text{Re}\, \vec{\Psi}^{\prime}  \\ \text{Im} \,\vec{\Psi}^{\prime}  \end{array}\right) = \widetilde{A} \left(\begin{array}{c} \text{Re}\, \vec{\Psi} \\ \text{Im} \,\vec{\Psi}  \end{array}\right) \, \text{mit } |\det \widetilde{A}\,| = x \, \text{?}
$$
Ich vermute i.A. nicht oder?

Ich freue mich auf Rückmeldung.

Grüße
Skalhoef


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]