Antworte auf:  skalare Differentialgleichungen von nitram999
Forum:  Lineare DGL 2. Ordnung, moderiert von: Wally haerter

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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1605
Herkunft: Bochum
 Beitrag No.9, eingetragen 2020-02-14 09:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

Du könntest jetzt mit dem Wissen, dass <math>a_0(t)=0</math> ist, weiterrechnen, aber das ist vielleicht gar nicht so optimal.

Gefragt ist ja nach "Man bestimme die Menge aller Lösungen".

Hast Du denn eine Charakterisierung, wie die Menge aller Lösungen solch einer inhomogenen Differentialgleichung 2. Ordnung aussieht?

Das könnte hier enorm helfen (zusammen mit Deinen bisherigen Überlegungen zur homogenen DGL).

Viele Grüße,
haerter


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft: Würzburg
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-02-10 20:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Ups, hab mich verschrieben...

-2 a0(t) = 0 muss da stehen, woraus dann folgt dass a0(t)=0 ist (wie ich im Beitrag 4 ja schon gesagt habe).

Aber wie gehts dann weiter?


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 8815
Herkunft: Dortmund, Old Europe
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-02-10 11:59    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Was ist denn \(b(t)-b(t)\)?

wally
\(\endgroup\)

nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft: Würzburg
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-02-10 09:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ochen,

hier ist meine Rechnung. Im letzten Schritt ist b(t) ja dann gleich 0, wenn man die homogene DGL betrachtet und damit dann ja auch a0(t) gleich 0.



Viele Grüße,
nitram999


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2877
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-10 05:14    [Diesen Beitrag zitieren]

Kannst du deine Rechnung dazu aufschreiben?


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft: Würzburg
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-02-09 20:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Dann ergibt sich, dass a0(t) = 0 gelten muss, oder?

Und Vektorräume kenne ich.

LG nitram999


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2877
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-09 20:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Was passiert denn, wenn du Gleichung (1) von Gleichung (2) aus dem Beitrag 1 abziehst?

Kennst du Vektorräume?


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft: Würzburg
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-02-09 19:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo ochen,

danke für die schnelle Antwort. Ja du hast recht, ich habe es schon berichtigt.

Aber ich weiß nicht genau, wie ich jetzt diese Funktion y(t) konstruieren soll  😵

Für die Homogenität würde ich ja b(t) erstmal gleich 0 setzen und dann x1(t), x2(t) und x3(t) in dein angegebenes Gleichungssystem einsetzen. Aber irgendwie stehe ich da noch auf dem Schlauch, wie es dann weiter geht.

Viele Grüße,
nitram999


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2877
Herkunft: der Nähe von Schwerin
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-09 19:23    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

kann es sein, dass die DGL
\[x''(t)+a_1(t)\cdot x'(t)+a_0(t)\cdot x(t)=b(t)\] lautet? Ansonsten ist die Darstellung etwas komisch. Wie auch immer. Die DGL ist linear inhomogen. Du hast drei inhomogene Lösungen gegeben.
Es gilt also
\[
\begin{align}
x_1''(t)+a_1(t)\cdot x_1'(t)+a_0(t)\cdot x_1(t)&=b(t)\\
x_2''(t)+a_1(t)\cdot x_2'(t)+a_0(t)\cdot x_2(t)&=b(t)\\
x_3''(t)+a_1(t)\cdot x_3'(t)+a_0(t)\cdot x_3(t)&=b(t)
\end{align}
\] für alle $t\in I$. Konstruiere zuerst eine homogene Lösung, also eine Funktion $y$ mit
\[
y''(t)+a_1(t)\cdot y'(t)+a_0(t)\cdot y(t)=0
\] für alle $t\in I$.

EDIT: Typo in der letzten Gleichung


nitram999
Aktiv
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 63
Herkunft: Würzburg
 Themenstart: 2020-02-09 19:07    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

ich sitze hier an einer Aufgabe und weiß nicht so genau, wie ich an diese herangehen soll...

Sei I ein offenes Intervall. Wir nehmen an dass die durch

x1(t)=t+1
x2(t)=t-1
x3(t)=1-t^2

definierten Funktionen über I, die in die reellen Zahlen abbilden die skalare DGL

x'' + a1(t)*x' + a0(t)*x = b(t)   (1)

lösen, wobei a0, a1, b stetige Funktionen sind. Man bestimme die Menge aller Lösungen von (1).


Ich würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen kann.
Vielen Dank schon mal!
nitram999


 
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