Antworte auf:  Globale Stabilität (Existenz einer Lyapunov-Funktion) von kaotisch
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haerter
Senior
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1605
Herkunft: Bochum
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-06 15:33    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

zu der Lyapunov-Funktion kann ich nicht viel sagen, ich finde wie Du, das sieht nicht sehr aussichtsreich aus.

Hast Du den schon versucht, das Vektorfeld z.B. in die x-y-Ebene zu projizieren mit einer linearen Approximation für z=z(x,y) in der Nähe des Gleichgewichts?
Ich denke, wenn Dein Gleichgewicht dann in der Projektion linear stabil ist, dann hättest Du zumindest (lokale) asymptotische Stabilität. Außerdem gilt ja in Deiner Menge M der Satz von Poincaré-Bendixson. Wenn das Gleichgewicht lokal, aber nicht global asymptotisch stabil wäre, müsste es noch eine periodische Lösung in M geben. Vielleicht kann man das ja irgendwie ausschließen.

Viele Grüße,
haerter


kaotisch
Aktiv
Dabei seit: 27.04.2013
Mitteilungen: 952
Herkunft: Niedersachsen
 Themenstart: 2020-03-27 12:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo, zusammen!

Für $(x,y,z)\in S^2=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^3: \lVert\vec{x}\rVert=1\}$ sei das folgende ODE-System gegeben:
$$ \begin{align*}
x'&=x(-x+f(x,y,z))\\
y'&=y(x-y+f(x,y,z))\\
z'&=z(y-z+f(x,y,z))
\end{align*}
$$ wobei $f(x,y,z)=x^3-xy^2+y^3-yz^2+z^3$.

Ein Gleichgewicht (nebst vielen anderen) ist
$$ E=(a,2a,3a),\quad a=\sqrt{1/14}.
$$ und ich würde gerne zeigen, dass $E$ global stabil innerhalb der Teilmenge
$$ M:=\{(x,y,z)\in S^2: x,y,z>0\}
$$ ist.

(Übrigens ist $E$ das einzige Gleichgewicht in $M$.)

Meine Frage ist, ob man eine Lyapunov-Funktion finden kann.



Es ist immer eine Kunst, eine Lyapunov-Funktion zu finden und ich bin in dieser Kunst sehr schlecht. Alles, was mir einfiel, ist, die Funktion
$$ V(x,y,z)=\alpha(x-a)^2+\beta(y-2a)^2+\gamma(z-3a)^2
$$ für noch zu bestimmende $\alpha,\beta,\gamma>0$ zu probieren.


Natürlich gilt $V(E)=0$ und $V(x,y,z)>0$ für alle $(x,y,z)\in M\setminus\{E\}$. Das heißt, $V$ ist auf $M$ positiv definit.

Die Ableitung kann ich auch berechnen, sie ist
$$ \begin{align*}
V'&=2\alpha(x-a)x'+2\beta(y-2a)y'+2\gamma(z-3a)z'\\
&=2\alpha(x-a)(-x^2+x f)+2\beta(y-2a)(xy-y^2+yf)+2\gamma(z-3a)(yz-z^2+zf).
\end{align*}
$$
Aber nun muss man ja für die gewünschte Aussage noch haben, dass $V‘$ auf $M$ negativ definit ist. Klar ist $V‘(E)=0$. Aber ob $V'<0$ auf $M\setminus\{E\}$ sehe ich mal so überhaupt nicht. Ganz im Gegenteil ist mein Gefühl, dass das Vorzeichen wechselt.


Vielleicht hat jemand eine bessere Idee für eine mögliche Lyapunov-Funktion?



Viele Grüße


 
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