Antworte auf:  Doppelfolgen von Ehemaliges_Mitglied
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Themenübersicht
DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 295
Herkunft:
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-04-03 09:16    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo esner,

ich denke, die Aussage ist falsch, $a_{n,k}=\frac{1}{|n-k|+1}$ ist ein Gegenbeispiel. Damit ist $\lim_{k \to \infty} a_{n,k}=0$ für alle $n$ und auch $\lim_{n \to \infty} a_{n,k}=0$ für alle $k$ (denn $a_{n,k}=a_{k,n}$), aber für jedes $k$ ist $\sup_{n \in \mathbb{N}} a_{n,k}=a_{n,n}=1$.

Gruß,
David


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-04-02 23:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Eh, ja, damit ist gemeint, dass die Grenzwerte alle existieren. Sorry, dachte das ist klar so. Ich ändere es und mache es deutlicher.


Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 769
Herkunft:
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-04-02 22:44    [Diesen Beitrag zitieren]

Stimmt, der Ansatz ist falsch. Ich glaube nicht, dass man den mit den weiteren Voraussetzungen retten kann.
Ich wundere mich aber über $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n,k}<\infty$. Wenn die Folge ins Negative für ein k divergiert, dann ist $\lim\limits_{k \rightarrow \infty} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{n,k}$ nicht wohldefiniert. Ist vielleicht $|\lim\limits_{n\to\infty}a_{n,k}|<\infty$ gemeint? Oder (exakter), dass jede Folge in  n konvergiert?


Ehemaliges_Mitglied
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-04-02 22:28    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für deine Bemühungen!

Ich befürchte aber da stimmt was nicht. Als Gegenbeispiel nenne ich die Folge $n/k$. Diese erfüllt die Bedingung, welche du benutzt, aber offensichtlich nicht die Aussage, welche zu beweisen (oder zu widerlegen) ist. Der Fehler in deiner Argumentation liegt m.E. darin, dass du annimmst, dass $K'$ endlich ist.

Würde mich auch sehr wundern, wenn die eine Bedingung bereits ausreicht, bei so Doppelfolgen muss man leider immer wahnsinnig aufpassen :(


Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 769
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-04-02 21:39    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo!

Ja, ich glaube, dass kann man folgern. Mein Versuch:

Laut Voraussetzung gilt für $\epsilon>0$, dass $\forall n\in\mathbb N\,\exists K(\epsilon,n)\in\mathbb N\,\forall k\ge K:|a_{n,k}|<\epsilon.$
Insbesondere $\exists K'(\epsilon)\in\mathbb{N}\,\forall n\in\mathbb N\,\,\forall k\ge K':|a_{n,k}|<\epsilon,$ wenn man $K'(\epsilon):=\max\limits_{n\in\mathbb N}\{K(\epsilon,n)\}$ wählt. Daraus folgt nun, dass für $\epsilon>0$ gegeben alle Einzelfolgen im ersten Index $(a_{n,k})_{n\in\mathbb N}$ mit $k\ge K'(\epsilon)$ die Ungleichung $|a_{n,k}|<\epsilon\,\forall n\in\mathbb N$ erfüllen. Laut Definition ist für ein $k$ $\sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_{n,k}|$ die kleinste obere Schranke von $(|a_{n,k}|)_{n\in\mathbb N},$ also $\epsilon>\sup\limits_{n\in\mathbb N}|a_{n,k}|>|\sup\limits_{n\in\mathbb N}a_{n,k}|\,\forall k\ge K'$. Das bedeutet aber gerade, dass $\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{n\in\mathbb N}a_{n,k}=0.$

p.s. Die beiden weiteren Voraussetzungen werden m.E. also nicht benötigt, um die Aussage zu beweisen.


Ehemaliges_Mitglied
 Themenstart: 2020-04-02 14:03    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

angenommen ich habe eine reelle positive Doppelfolge $(a_{n,k})_{(n,k)}, n,k \in \mathbb{N}$ mit den Eigenschaften $\lim_{k \rightarrow \infty} a_{n,k} = 0 \ \forall n$ und $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} $ existiert und ist endlich für alle $ k$ sowie
\[
\lim_{k \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} = 0.
\] Kann ich dann daraus folgern (wenn ja, wieso), dass
\[
\lim_{k \rightarrow \infty} \sup_{n \in \mathbb{N}} a_{n,k} = 0?
\]


 
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