Antworte auf:  Urne und Münzwurf von Math_user
Forum:  Stochastik und Statistik, moderiert von: Kleine_Meerjungfrau Monkfish epsilonkugel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 
 


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 353
Herkunft:
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-08-06 09:04    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-08-06 07:35 - Math_user in Beitrag No. 3 schreibt:
Vielen Dank für den Hinweis - im ersten Schritt sollte es wirklich heissen:
$$\mathbb{P}(A=k) = \sum_{l\geq k} \mathbb{P}(A=k, B=l-k)$$ Werde es gleich noch ändern. Vielen Dank auch für eure Ausführung, dies  ergibt natürlich Sinn nun. Wenn ich also die Verteilung von $B$ bestimmen möchte, kann ich eigentlich gleich vorgehen. Dass soll heissen:
\[\mathbb{P}(B=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(B=k,A=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k,A=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k|B+A=k+n)\mathbb{P}(B+A=k+n)\] Oder sehe ich dies falsch?
Nein, das kannst du so machen.

vg Luis


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 477
Herkunft: Deutschland
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-08-06 07:35    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für den Hinweis - im ersten Schritt sollte es wirklich heissen:
$$\mathbb{P}(A=k) = \sum_{l\geq k} \mathbb{P}(A=k, B=l-k)$$ Werde es gleich noch ändern. Vielen Dank auch für eure Ausführung, dies  ergibt natürlich Sinn nun. Wenn ich also die Verteilung von $B$ bestimmen möchte, kann ich eigentlich gleich vorgehen. Dass soll heissen:
\[\mathbb{P}(B=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(B=k,A=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k,A=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(B=k|B+A=k+n)\mathbb{P}(B+A=k+n)\] Oder sehe ich dies falsch?


Conny42
Senior
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 142
Herkunft:
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-05 22:59    [Diesen Beitrag zitieren]

Huhu Math_user,

im ersten Schritt sollte es

$\mathbb{P}(A=k) = \sum_{l\geq k} \mathbb{P}(A=k, B=l-k)$

heißen. $l$ steht hier für die Gesamtzahl der Kugeln in beiden Urnen und wenn in Urne $A$ $k$ Kugeln sind, gilt $l\geq k$.
Im zweiten Schritt wird der Summationsindex von $l$ zu $n=l-k$ verschoben.
Und im dritten Schritt wird

$\mathbb{P}(A=k,B=n) = \mathbb{P}(A=k, A+B=n+k)$

und die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit verwendet.

Liebe Grüße,
Conny

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 353
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-05 22:54    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-08-05 20:55 - Math_user im Themenstart schreibt:
 Bis hier ist alles klar aber nun kommt der Clue:  
\[\mathbb{P}(A=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(A=k,A=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k,B=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k|A+B=n+k)\mathbb{P}(A+B=n+k)\] Ich verstehe hier alle 3 Gleichzeichen nicht. Weshalb summieren wir zwischen l und k und nicht von Anfang an und wie komme ich nachher zu allen n? Kann mir jemand bitte weiterhelfen?
 

Die erste Gleichung ist vermutlich nicht korrekt, mMn aber auch nicht relevant.

$(A=k)=(A=k)\cap\Omega=(A=k)\cap[(B=0)\cup (B=1)\cup\ldots]= [(A=k)\cap (B=0)] \cup [(A=k) \cap (B=1)] \cup \ldots $

so dass $P(A=k)=\sum_{n\ge 0}P(A=k\cap B=n)$.

Weiter ist

$P(A=k\mid A+B=n+k)=\dfrac{P(A=k\cap A+B=n+k)}{P(A+B=n+k)}=\dfrac{P(A=k\cap B=n)}{P(A+B=n+k)}$.

vg Luis
                         


Math_user
Aktiv
Dabei seit: 04.05.2019
Mitteilungen: 477
Herkunft: Deutschland
 Themenstart: 2020-08-05 20:55    [Diesen Beitrag zitieren]

Guten Abend

Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei $X$ eine Zufallsvariabel die Poisson verteilt ist mit Parameter $\lambda$ und sei $p \in (0,1)$. Nehmen wir, wir besitzen eine Menge $X$ von Kugeln, welche in 2 Urnen verteilen möchten. Dafür werfen wir für jede Kugel eine Münze, welche die Urne entscheidet. Wenn die Münze mit Wahrscheinlichkeit $p$ fällt, so geht die Kugel in die Urne $A$. Wenn sie mit Wahrscheinlichkeit $1-p$ fällt, geht sie in die Urne $B$. Dabei sind Münzwürfe sind dabei unabhängig der anderen Kugeln und der Anzahl $X$ Kugeln. Wie ist nun $A$ verteilt?
Die Antwort ist mit einer Poisson Verteilung von Parameter $p\lambda$.
Nun geht der Beweis folgendermassen:
Wir wissen $\mathbb{P}(N=k)=\mathbb{P}(A+B=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ und $\mathbb{P}(A=l|A+B=k)$=${n}\choose{l}$ $p^l(1-p)^{k-l}$. Bis hier ist alles klar aber nun kommt der Clue:  
\[\mathbb{P}(A=k)=\sum_{l \geq k} \mathbb{P}(A=k,B=l-k)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k,B=n)=\sum_{n \geq 0}\mathbb{P}(A=k|A+B=n+k)\mathbb{P}(A+B=n+k)\] Ich verstehe hier alle 3 Gleichzeichen nicht. Weshalb summieren wir zwischen l und k und nicht von Anfang an und wie komme ich nachher zu allen n? Kann mir jemand bitte weiterhelfen?
Vielen Dank und einen guten Abend


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]