Antworte auf:  Homomorphismus beschränkt sich zu Automorphismus von LukasNiessen
Forum:  Körper und Galois-Theorie, moderiert von: Buri Gockel

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LukasNiessen
Aktiv
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 136
Herkunft: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Südstadt
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-08-09 12:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Genau das triviale das ich befürchtete :D

Danke sehr!


JonyGo
Aktiv
Dabei seit: 31.05.2020
Mitteilungen: 32
Herkunft:
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-08-09 11:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Körperhomomorphismen sind immer injektiv.


LukasNiessen
Aktiv
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 136
Herkunft: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Südstadt
 Themenstart: 2020-08-09 11:03    [Diesen Beitrag zitieren]
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Hey,

ich fürchte, ich übersehe hier etwas triviales, aber ich sehe wirklich keinen Grund für das folgende.

Es geht um den Hauptsatz der Galoistheorie. Genauer um den Teil im Beweis, der beweisen soll, dass für eine endliche Galois-Erweiterung L/K mit H als Untergruppe der Galois-Gruppe G, gilt:
Wenn H Normalteiler in G, dann ist $L^H$ normal (und damit galoisch) über K.

Im Beweis wird nun ein K-Homomorphismus $f:L^H \Rightarrow L'$ in einen algebraischen Abschluss L' von L betrachtet.
Wir haben ein Lemma, das aussagt, dass wenn jedes solche f sich zu einem K-Aut beschränkt, die Erweiterung $L^H/K$ normal ist.

Im Beweis heißt es aber: "Es ist dann $f(L^H)=L^H$ zu zeigen."

Wie aber folgt daraus die Bijektivität von f? Daraus folgt doch nur die Surjektivität.
Ich sehe nicht, wie das auch die nötige Injektivität impliziert.

Vielen Dank!
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