Antworte auf:  Ableitung von f(λ x) von kokosnusskopf
Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1767
 Beitrag No.10, eingetragen 2020-11-01 12:46    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-11-01 11:54 - kokosnusskopf in Beitrag No. 9 schreibt:
wie der Ausdruck auf der rechten Seite zu verstehen ist?

Die rechte Seite ist sehr unüblich geschrieben. Generell besteht bei einer partiellen Ableitung wie $\displaystyle{\partial f(\lambda\,x)\over\partial x_i}$ für eine Funktion $x\mapsto f(x)$ ein Notationsproblem: Ist damit gemeint, dass man...

1. die Funktion $f$ nach ihrem $i$-ten Argument abeleitet und dann in die Ableitung als Argument $\lambda\,x$ einsetzt oder dass man

2. erst in die Funktion als Argument $\lambda\,x$ einsetzt und dann den entstehenden Ausdruck nach $x_i$ ableitet.

Man kann diese beiden Fälle z.B. durch folgende Schreibweisen klar unterscheiden:

1. $\displaystyle {\partial f\over\partial x_i}(\lambda\,x)$    und    2. $\displaystyle {\partial \over\partial x_i}\Bigl[f(\lambda\,x)\Bigr]$

Der Ausdruck $\displaystyle{\partial f\over\partial(\lambda\,x_i)}$ im Startbeitrag ist eine verwirrende Schreibweise für 1. $\displaystyle {\partial f\over\partial x_i}(\lambda\,x)$.


Die Kettenregel für eine Funktion $F=f\circ\phi$ mit $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ und $\phi\colon\mathbb R\to\mathbb R^n$ sagt allgemein$$ F' = \left(f'\circ\phi\right) \cdot \phi' \;.
$$In Komponenten ausgeschrieben bedeutet das$$ F' =
\sum_i\left({\partial f\over\partial x_i}\circ\phi\right) \cdot \phi_i'
$$oder, wenn man auch noch die Argumente einsetzt,$$ {\partial \over\partial\lambda}\Bigl[f\bigl(\phi(\lambda)\bigr)\Bigr] =
\sum_i{\partial f\over\partial x_i}\bigl(\phi(\lambda)\bigr)\cdot {\partial\phi_i\over\partial\lambda}(\lambda) \;.
$$Das auf die Funktion $\phi(\lambda)=\lambda\,x$ angewandt liefert$$ {\partial \over\partial\lambda}\Bigl[f(\lambda\,x)\Bigr] =
\sum_i{\partial f\over\partial x_i}(\lambda\,x)\cdot x_i \;.$$


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 62
 Beitrag No.9, eingetragen 2020-11-01 11:54    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-11-01 11:34 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-11-01 11:31 - kokosnusskopf in Beitrag No. 7 schreibt:
ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Gleichung in meiner Frage unabhängig von der Aufgabe, also allgemein für Funktionen f: $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ erfüllt ist.

Das ist auch völlig richtig. Der Schritt in deinem Startbeitrag ist einfach die Ableitung der Funktion $\lambda\mapsto f(\lambda x)$ nach der Kettenregel.

Kannst du mir die Vorschrift für diese Kettenregel vielleicht erklären bzw. verlinken und mir erklären wie der Ausdruck auf der rechten Seite zu verstehen ist?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1767
 Beitrag No.8, eingetragen 2020-11-01 11:34    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-11-01 11:31 - kokosnusskopf in Beitrag No. 7 schreibt:
ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Gleichung in meiner Frage unabhängig von der Aufgabe, also allgemein für Funktionen f: $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ erfüllt ist.

Das ist auch völlig richtig. Der Schritt in deinem Startbeitrag ist einfach die Ableitung der Funktion $\lambda\mapsto f(\lambda x)$ nach der Kettenregel.


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 62
 Beitrag No.7, eingetragen 2020-11-01 11:31    [Diesen Beitrag zitieren]

ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die Gleichung in meiner Frage unabhängig von der Aufgabe, also allgemein für Funktionen f: $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ erfüllt ist.

Hier die Aufgabe





In der Lösung für den a-Teil werden beide Seiten der Gleichung $f(\lambda x) = \lambda^n f(x)$ nach $\lambda$ abgeleitet und dann $\lambda = 1$ gesetzt. Dabei wird ohne Beweis die Gleichheit aus der Frage genutzt, so als wäre sie allgemein für diffbare Funktionen gültig und leicht einzusehen.


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3039
Herkunft: der Nähe von Schwerin

 Beitrag No.6, eingetragen 2020-10-31 15:51    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

2020-10-31 15:03 - kokosnusskopf in Beitrag No. 3 schreibt:
2020-10-31 14:57 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

ein vernünftiger Sachzusammenhang wäre hier hilfreich. [...]

Mehr geht meiner Meinung auch nicht ohne weitere Informationen.


Gruß, Diophant

über die funktion ist hier nichts bekannt, ausser, dass sie von R^n nach R geht

Sorry, aber das stimmt doch nicht. Du hast doch eben geschrieben, dass $f$ homogen ist. Und genau das hat Diophant doch gerade erfragen wollen - ob du mehr Informationen zu $f$ hast. Sorry.

Nicht alle zweimal stetig differenzierbaren Funktionen sind homogen, so ist $f:=X^3+Y^2$ nicht homogen, aber $f:=X^3+Y^3$ ist homogen. Für homogene Funktionen gibt es ein $n\in\mathbb N$ mit
\[
f(\lambda x)=\lambda^nf(x)
\] für alle $\lambda$ und $x$.

Magst du den ganzen Beweis, um den es geht, mal abtippen.


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 62
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-10-31 15:30    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-10-31 15:21 - Rathalos in Beitrag No. 4 schreibt:
Hi kokusnusskopf,

Ich kenne diese Beziehung (Euler-Theorems nach Wikipedia)  für homogene Funktionen (de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion). Kann es sein, dass ihr homogonene Funktionen betrachtet oder extensive Größen in der Thermodynamik ?  

ja genau die Aufgabe geht um homogene funktionen. das hier ist der ausschnitt aus der lösung, die ich nicht verstehe


Rathalos
Aktiv
Dabei seit: 11.08.2018
Mitteilungen: 153
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-10-31 15:21    [Diesen Beitrag zitieren]

Hi kokusnusskopf,

Ich kenne diese Beziehung (Euler-Theorems nach Wikipedia)  für homogene Funktionen (de.wikipedia.org/wiki/Homogene_Funktion). Kann es sein, dass ihr homogonene Funktionen betrachtet oder extensive Größen in der Thermodynamik ?  


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 62
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-10-31 15:03    [Diesen Beitrag zitieren]

2020-10-31 14:57 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

ein vernünftiger Sachzusammenhang wäre hier hilfreich. Irgendwie sieht das nach der Ableitung einer Likelihood-Funktion aus, aber das ist jetzt nur im Nebel gestochert.

Mehr geht meiner Meinung auch nicht ohne weitere Informationen.


Gruß, Diophant

über die funktion ist hier nichts bekannt, ausser, dass sie von R^n nach R geht


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 5717
Herkunft: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.2, eingetragen 2020-10-31 14:57    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ein vernünftiger Sachzusammenhang wäre hier hilfreich. Irgendwie sieht das nach der Ableitung einer Likelihood-Funktion aus, aber das ist jetzt nur im Nebel gestochert.

Mehr geht meiner Meinung auch nicht ohne weitere Informationen.


Gruß, Diophant


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 62
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31 14:52    [Diesen Beitrag zitieren]

ich verstehe den rechten ausdruck auch nicht. worauf wird die ableitung von f nach $/lambda x_i$ denn angwandt?


kokosnusskopf
Aktiv
Dabei seit: 03.05.2019
Mitteilungen: 62
 Themenstart: 2020-10-31 14:45    [Diesen Beitrag zitieren]

kann mir jemand diese gleichung erklären bzw. beweisen? f ist eine differenzierbare funktion in n variablen



 
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