Antworte auf:  Minimalpolynome von Endomorphismen von mathebauer97
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Themenübersicht
mathebauer97
Aktiv
Dabei seit: 07.03.2020
Mitteilungen: 22
Herkunft: Österreich

 Beitrag No.4, eingetragen 2020-11-01 20:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich verstehe, besten Dank :)

lg


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1176
 Beitrag No.3, eingetragen 2020-11-01 19:00    [Diesen Beitrag zitieren]
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Ja, das kannst du tatsächlich machen. In diesem Fall also
\[\mu_{f_X}(X)=(X-1)^2=\matrix{0&0\\1&0}^2=\matrix{0&0\\0&0},\] während hingegen einsetzen in das Polynom $p=t-1$ einfach nur $p(X)=\matrix{0&0\\1&0}\neq0$ ergeben würde.
\(\endgroup\)

mathebauer97
Aktiv
Dabei seit: 07.03.2020
Mitteilungen: 22
Herkunft: Österreich

 Beitrag No.2, eingetragen 2020-11-01 18:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo und vielen Dank für die Antwort,

habe ganz vergessen, dass ich das so machen kann. So wird es natürlich offensichtlich. 😁

Bislang hatten wir das Einsetzen eines Endomorphismus in eine Polynomfunktion nämlich so definiert:

Wenn \(\mu_{f_{X}}(t) = \sum_{i=1}^{k}t^{i}a{i}\),

dann ist \(\mu_{f_{X}}(f)(v) = \sum_{i=1}^{k}f^{i}(v)*a_{i}\)

wobei in dem oben angeführten Beispiel \(v \in \mathbb{R}^{2\times 1}\) wäre.

Kann ich daraus schließen, dass ich ganz einfach die Abbildungsmatrix \(X\) in
\(\mu_{f_{X}}\) einsetzen kann ? Ist doch eigentlich genauso als würde ich die Vektoren der Standardbasis einsetzen, oder ?

lg


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1176
 Beitrag No.1, eingetragen 2020-10-31 18:55    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)
Hallo mathebauer97,

probier es doch einfach mal aus: Setze die Matrix in dein vorgeschlagenes Minimalpolynom ein, und du wirst sehen, dass nicht $0$ rauskommt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

mathebauer97
Aktiv
Dabei seit: 07.03.2020
Mitteilungen: 22
Herkunft: Österreich

 Themenstart: 2020-10-31 18:37    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich wiederhole in meinem LA Skript gerade das Kapitel über Charakteristische Polynome / Minimalpolynome von Endomorphismen. Dort steht folgendes Beispiel:

(Im Folgenden bezeichnen \(\chi(t)\) charakteristische Polynome und \(\mu(t)\) Minimalpolynome.)

In \( \mathbb{R}^{2 \times 1}\) gilt:

Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

ist \(\chi_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\) und \(\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)\)

Das kann ich nachvollziehen - die Nullstellen des Minimalpolynoms unterscheiden sich nicht von denen des charakteristischen Polynoms, es muss aber minimalen Grad besitzen.

Für \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

ist \(\chi_{f_{X}}(t)=\mu_{f_{X}}(t)=(t-1)^{2}\)

Das verstehe ich nicht. Meiner Meinung nach müsste das Minimalpolynom doch aussehen wie beim ersten Beispiel. Warum kann ich hier den Grad nicht weiter verringern ?


 
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