Antworte auf:  Erklärung Beweis Cauchy-Kriterium (glm.) von Rurien9713
Forum:  Topologie, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 564
Herkunft: Bonn

 Beitrag No.7, eingetragen 2020-12-04 18:42    [Diesen Beitrag zitieren]

Das Problem wird/wurde bereits in
diesem Thread hier
diskutiert. Die Beantwortung der Fragen zum gleichen Beweis sollte nur in einem Thread stattfinden.


Rurien9713
Aktiv
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 207
 Beitrag No.6, eingetragen 2020-12-02 08:40    [Diesen Beitrag zitieren]

Dazu hätte ich hier dann noch eine Frage.



Warum kann man sich die Grenze Epsilon/2 basteln?

Tun wir das dann nur um zu zeigen, dass es kleiner als epsilon dann ist und somit gleichmäßig konvergent?


Rurien9713
Aktiv
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 207
 Beitrag No.5, eingetragen 2020-12-02 06:54    [Diesen Beitrag zitieren]

Oder lautet es dann folgendermaßen:

  ||fn-fm||<Epsilon
= Wurzel(|fn1-fm1|^2+...+|fnn-fmn|^2) >= |fnk-fmk|

Muss ich hiermit arbeiten oder liege ich gänzlich daneben?

Würde mich über jede Antwort freuen 😃


Rurien9713
Aktiv
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 207
 Beitrag No.4, eingetragen 2020-12-02 06:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Also per Definition ist ja das was angenommen wird beim 2.Schritt:
||fn(x)-fm(x)||< Epsilon für alle x aus D und für alle m,n>N

Ist die Standardnorm hier nicht die Maximums- bzw. Supremumsnorm?

Oder ist hiermit der euklidische Abstand bezeichnet? D.h:
||x-y||= Wurzel(|xn-yn|)


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 564
Herkunft: Bonn

 Beitrag No.3, eingetragen 2020-12-02 00:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Das ist per Definition der Cauchyfolge, schreib sie mal auf  :)


Rurien9713
Aktiv
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 207
 Beitrag No.2, eingetragen 2020-12-01 19:26    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo, danke für die hilfreiche Antwort 😄

Ich bin nur da hängengeblieben, wo von der Bedingung aus auf die Cauchy-Folge gefolgert wird. Ist dies laut Definition so oder ist es eine Eigenschaft der Cauchy-Folgen?


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 564
Herkunft: Bonn

 Beitrag No.1, eingetragen 2020-12-01 19:19    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Rurien9713,

kannst du etwas konkreter werden, wo du hängst?

2.1 Man führt einen direkten Beweis.
2.2 Man schreibt die Bedingung auf, die gegeben ist.
2.3 Man folgert daraus zunächst, dass für beliebiges x in D $(f_n(x))$ eine CauchyFolge in C und damit konvergent ist und bezeichnet den Grenzwert mit $f$. Da x beliebig war, definiert das eine Funktion von D nach $\mathbb{C}$, von der nun noch gezeigt wird, dass $f_n$ gleichmäßig dagegen konvergiert.
2.4 Man hat in 2.2 bereits hingeschrieben: Es gibt $N$, sodass für alle $x\in D$ gilt: $|f_n(x)-f_m(x)|\leq \epsilon$ für alle $n, m \geq N$.
Damit folgt $|f_n(x) - f(x)| = |f_n(x) - \lim_{m\to\infty} f_m(x)| = \lim_{m\to\infty} |f_n(x) - f_m(x)| \leq \epsilon$ für alle $x\in D$ und für alle $n\geq N$, was die Definition davon ist, dass $f_n$ gleichmäßig gegen f konvergiert.

Hier war kaum Mehrinput drin, daher die Rückfrage: Wo bleibst du hängen?

Viele Grüße
Creasy


Rurien9713
Aktiv
Dabei seit: 27.11.2020
Mitteilungen: 207
 Themenstart: 2020-12-01 14:10    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo zusammen,

Kann mir hier vielleicht jemand die Teilschritte des Beweise im 2.Teil also der Rückrichtung erkläutern?



Danke!


 
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