Antworte auf:  Bewegungsgleichung eines inhomogenen Zylinders von Mandacus
Forum:  Theoretische Mechanik, moderiert von: fru MontyPythagoras

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Mandacus
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Dabei seit: 29.10.2016
Mitteilungen: 188
 Themenstart: 2021-01-20 22:02    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich bin mir leider mit meiner Lösung für eine Aufgabe unsicher bei der es um einen inhomogenen Zylinder geht.



Mein Problem liegt hier bei a).

Die Lagrange-Funktion lautet $L=T-V$, wobei $T$ die kinetische und $V$ die potentielle  Energie bezeichnet. Die kin. Energie teilt sich auf in einen translatorischen und einen rotatorischen Anteil

$$ T=T_{\text{trans}}+T_{\text{rot}}
$$ wobei

$$ T_{\text{trans}}=\frac{M}{2} \dot{\vec{r}}^2 \\
T_{\text{rot}}=\vec{\omega}^T I \vec{\omega}
$$  

wobei $I$ den Trägheitstensor bezeichnet. Ich betrachte den Schwerpunkt $\vec{r}_S$. Es ist

$$ \vec{r}_S
=\begin{pmatrix}
x_S \\
z_S
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
R \varphi - a \sin(\varphi) \\
R - a \cos(\varphi)
\end{pmatrix} \\
\dot{\vec{r}}_S=\begin{pmatrix}
(R - a \cos(\varphi)) \dot{\varphi} \\
a \dot{\varphi} \sin(\varphi).
\end{pmatrix}
$$
Für den translatorischen Anteil bekomme ich

$$ T_{trans}
=\frac{M}{2} (\dot{x_S}^2+\dot{z_S}^2)
=\frac{M}{2} (R^2-2 R a \cos(\varphi) +a^2) \dot{\varphi}^2
$$
Mit $\vec{\omega}=\omega \vec{e}_y=\dot{\varphi} \vec{e}_y$ bekomme ich für den translatorischen Anteil

$$ T_{rot}
=\vec{\omega}^T I \vec{\omega}
=\frac{1}{2} I_S \dot{\varphi}^2.
$$
Für die potentielle Energie habe ich

$$ V=M g z_S=M g (R-a \cos(\varphi)).
$$
Somit ergibt sich für die Lagrange-Funktion

$$ L
=T_{trans}+T_{rot}-V
=\frac{M}{2} (R^2-2Ra \cos(\varphi) +a^2) \dot{\varphi}^2
+\frac{1}{2} I_S \dot{\varphi}^2
-M g (R-a \cos(\varphi)).
$$
Es folgt

$$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}
=(M(R^2 - 2Ra - \cos(\varphi)+a^2)+I_S) \ddot{\varphi}
\frac{\partial L}{\partial \varphi}
=Ma (R \dot{\varphi}^2-g) \sin(\varphi).
$$
Es folgt für die Bewegungsgleichung

$$ 0
=\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}
-\frac{\partial L}{\partial \varphi}
=(M(R^2 - 2Ra - \cos(\varphi)+a^2)+I_S) \ddot{\varphi}
-Ma (R \dot{\varphi}^2-g) \sin(\varphi).
$$
Nun bin ich mir aber unsicher, ob ich bis hierhin alles richtig gemacht habe. Stimmt die Bewegungsgleichung so?


 
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