Antworte auf:  Spezialfall V = K^n ? von Dusia_mag_LA
Forum:  Vektorräume, moderiert von: Fabi Dune ligning

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Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5742
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-02-09 21:17    [Diesen Beitrag zitieren]
Nein. $\{(x,y) \in K^2 : x+y=0\}$ ist ein Unterraum von $K^2$, eine ganz normale Gerade, und nicht gleich $K$ (aber isomorph zu $K$). Aber selbst wenn du $V \cong K^n$ meintest: Es gibt ganz einfache Beispiele von unendlich-dimensionalen Vektorräumen. Betrachte etwa $\IR$ als $\IQ$-Vektorraum. Für kein $n \in \IN$ ist $\IR \cong \IQ^n$, weil $\IQ^n$ im Gegensatz zu $\IR$ abzählbar ist. Es mag zwar $V \cong K^n$ der "Normalfall" in einer Vorlesung zur linearen Algebra 1 sein, aber abseits davon nicht.

Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-09 16:05    [Diesen Beitrag zitieren]
Okay, also zum Beispiel, wenn der Vektorraum ein Funktionenraum ist, dann geht das nicht. Der "Spezialfall" $V = K^n$ ist entsprechend eher der "Normalfall" - nur eben nicht der "allgemeine Fall". Und nur wenn man mit abstrakteren, "abgespaceten" Räumen arbeitet, dann muss man aufpassen.

ligning
Senior
Dabei seit: 07.12.2014
Mitteilungen: 3291
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-09 15:51    [Diesen Beitrag zitieren]
Erstens findest du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Beispiele bereits genügend Beispiele von Vektorräumen, die keine $K^n$ sind. Zweitens hat ein $K^n$ für $n\geq 1$ auch jede Menge echte Unterräume, die dann auch keine $K^n$ sind. [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von ligning]

Dusia_mag_LA
Junior
Dabei seit: 02.02.2021
Mitteilungen: 15
 Themenstart: 2021-02-09 15:47    [Diesen Beitrag zitieren]
Warum ist auf Wikipedia V = K^n ein Spezialfall, was kann man denn noch haben außer V = K^n ? Und wie kann man die Basiswechselmatrix berechnen wenn es kein Spezialfall ist? Link: https://de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_(Vektorraum)#Basiswechselmatrix

 
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