Antworte auf:  Partielle und normale Differentiale ersetzen und kürzen von reno
Forum:  Thermodynamik & Statistische Physik, moderiert von: rlk

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StefanVogel
Senior
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 3847
Wohnort: Raun

 Beitrag No.2, eingetragen 2021-02-27 07:32    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-02-21 23:56 - reno im Themenstart schreibt:

Aus meiner Sicht ist hier dp/dT immer noch nicht partiell. Doch im nächsten Schritt wird argumentiert, dass die gesamte geschwungene Klammer gleich 0 ist...

Hallo reno,
die Buchvorschau zeigt nur Seite 251 und 252. Es könnte sein, dass die geschwungene Klammer im nächsten Schritt bereits weitergerückt ist bis

\( (c_p - c_v) = T \left[ \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v \left(\dfrac{\partial v}{\partial T}\right)_p + \left\{ \left(\dfrac{\partial p}{\partial T}\right)_v  \left(\dfrac{\partial v}{\partial p}\right)_T + \left(\dfrac{\partial v} {\partial T}\right)_p \right\} \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}T} \right]\).

Viele Grüße,
  Stefan


Spock
Senior
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8186
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-02-26 19:27    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo reno,

und herzlich Willkommen im Physikforum von Matroids Planet.

2021-02-21 23:56 - reno im Themenstart schreibt:

Frage 1: Partielle Ableitung sind nach definition nicht miteinander kürzbar. Dieses Skript zeigt jedoch auf, dass ein partielles Differential bei festgehaltener dritter Koordinate gleich dem 1/Kehrwert des Differentials ist:

Kommt das nicht einem Kürzen gleich? Wenn bei partiellen Ableitungen immer alle bis auf eine Größe festgehalten werden, dann verstehe ich nicht warum beim Kürzen überhaupt unterschieden wird. Wo stehe ich hier auf dem Schlauch?

Naja, Physiker kürzen ganz gern mal, aber i.A. ist ihnen klar, was sie dabei tun (Grenzwert!), :-)
Lies mal unter "Ableitung der Umkehrfunktion" nach, dann solltest Du besser verstehen, was da passiert ist.

2021-02-21 23:56 - reno im Themenstart schreibt:
...

Nun kann man durch dT teilen und erhält

...

Nein, das kann man so nicht, und ohne jetzt das zitierte Buch zu kennen, kann ich mir nicht vorstellen, daß das so dasteht.

Die Herleitung der Differenz der spezifischen Wärmekapazitäten geht anders, und dafür darf und braucht man auch nicht durch Differentiale zu "kürzen".

Grüße
Juergen


reno
Neu
Dabei seit: 21.02.2021
Mitteilungen: 4
 Themenstart: 2021-02-21 23:56    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo allerseits,
da das mein erster Post hier ist hoffe ich die richtige Kategorie zu treffen und allgemein alles richtig zu machen. Meine Fragen bezieht sich auf partielle Ableitungen in Zustandsräumen der Thermodynamik. Ein tieferes Verständnis ist nur in der Mathematik notwendig :) Dabei beziehe ich mich u.a. auf dieses Dokument: hier

Annahme: Betrachtet werden sollen nur einheitliche Reinstoffe, so dass immer drei lin. unabh. Koordinaten zur Beschreibung eines Zustands ausreichen. Diese können drei Variablen hieraus sein: (p, v, T, u, h, s) Jede Koordinate ist also von zwei anderen von einander unabhängigen Koordinaten abhängig.

Frage 1: Partielle Ableitung sind nach definition nicht miteinander kürzbar. Dieses Skript zeigt jedoch auf, dass ein partielles Differential bei festgehaltener dritter Koordinate gleich dem 1/Kehrwert des Differentials ist:

Kommt das nicht einem Kürzen gleich? Wenn bei partiellen Ableitungen immer alle bis auf eine Größe festgehalten werden, dann verstehe ich nicht warum beim Kürzen überhaupt unterschieden wird. Wo stehe ich hier auf dem Schlauch?

Frage 2: Ich frage das vor allem weil ich Probleme habe diese folgenden Schritte nachzuvollziehen. Es geht hierbei um die Herleitung von allgemeinen Beziehungen zwischen kalorischen und thermischen Zustandsgrößen und ist an Kapitel 12 des Buchs Stephan Peter et al., Thermodynamik Grundlagen und technische Anwendungen Band 1: Einstoffsysteme angelehnt hier. Konkret: S.259f
Ohne weiter darauf eingehen zu wollen ist der Ausgangspunkt:

Nun kann man durch dT teilen und erhält:

Nach meiner Auffassung ist dv/dT nun KEIN partielles Differential, richtig?
Im nächsten Schritt wird dv durch ein totales Differential bezüglich T und p ersetzt:

Aus meiner Sicht ist hier dp/dT immer noch nicht partiell. Doch im nächsten Schritt wird argumentiert, dass die gesamte geschwungene Klammer gleich 0 ist, da (aus anderer Stelle) gilt:

Das kann ich nicht mehr nachvollziehen. Selbst, wenn man diesen Schritt aber akzeptiert, dann ergäbe sich nach meiner Rechnung:

Wobei das Buch auch hier partielle Ableitungen anschreibt:


Wenn partiell oder nicht partiell überhaupt keine Rolle spielt, dann hätte man ja auch das zweite δv/dT and der Stelle δv mit einem totalen Diff. ersätzen können und die gesamten Gleichung folgt der obigen logik und wird zu Null. Das macht dann auf jeden Fall keinen Sinn mehr.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen und lasst euch nicht durch die Physikkomponente stören. Daran habe ich jetzt schon lange geknobelt und komme selbst nicht weiter. Wegen Onlinesemester ann ich diese Frage auch an niemanden richten, der die mir beantworten kann.
Danke im Voraus!




 
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