Antworte auf:  Matrixnorm < 1, dann A+E invertierbar von LukasNiessen
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Themenübersicht
LukasNiessen
Aktiv
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 152
Wohnort: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Weststadt

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-03-08 17:35    [Diesen Beitrag zitieren]
Jetzt seh ich's! Danke sehr! Grüße

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 2592
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-03-08 17:16    [Diesen Beitrag zitieren]
\quoteon(2021-03-08 16:57 - LukasNiessen im Themenstart) also $||Ax|| < ||x||$. \quoteoff Und wenn jetzt $A+E$ nicht invertierbar wäre, gäbe es einen Vektor $x\neq 0$ mit $(A+E)\,x=0$ bzw. $Ax=-x$. Dann wäre aber $\|Ax\|=\|x\|$... --zippy

Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
Mitteilungen: 784
 Beitrag No.1, eingetragen 2021-03-08 17:07    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo! Eventuell hilft der Hinweis auf eine (symbolische) geometrische Reihe weiter? Wann würde sie konvergieren?

LukasNiessen
Aktiv
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 152
Wohnort: Nordrhein-Westfalen, Bonn, Weststadt

 Themenstart: 2021-03-08 16:57    [Diesen Beitrag zitieren]
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$|||.|||$ die von ihr induzierte Matrixnorm. Sei nun: Für $A \in \IR^{\text{n x n}}: |||A||| < 1$. Dann ist $E+A$ regulär. Mein Ansatz ist: Nach der Def. einer induzierten Matrixnorm haben wir also: Für alle $x \in \IR^n - {0}: \frac{||Ax||}{||x||} < 1$, also $||Ax|| < ||x||$. Man kann das dann noch umformen zu: $||Ax||-||Ex|| < 0$ Ich habe versucht zu nutzen, dass $|||.|||$ mit $||.||$ verträglich ist, oder die umgekehrte Dreiecksungl., aber das bringt ja beides nichts, weil wir dann die Abschätzung < 0 verlieren würden. Ich sehe aber insb. nicht wie man hier auf irgendwas von Invertierbarkeit kommen kann, zB, dass A vollen Rang haben muss, oder die Determinante nicht 0 sein kann. Vielen Dank!\(\endgroup\)

 
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