Antworte auf:  Ist die Menge von Matrizen ein Körper? von Bruce94
Forum:  Körper und Galois-Theorie, moderiert von: Buri Gockel

[Zur Forum-Gliederung] [Wie man Fragen beantwortet] [Themenstart einblenden]

  Alle registrierten Mitglieder können Mitteilungen schreiben.
Benutzername:
Passwort:
Nachricht-Icon:                   
                  
              
Nachricht:


 

Erledigt J


Input assistance tools (JavaScript): [Link extern intern] [MathML?] [$$?]
[fed-area] [LaTeX-inline] [LaTeX-display] [Tikz] [hide-area][show-area] [Source code [num.]][?]
 Show Preview      Write using fedgeo formula editor or Latex.

Smilies for your message:
😃 😄 😁 🙂 🙃 😉 🤗 🤫 🤔 🙄 😴 🤒 😎 😮 😲 😂
🙁 😖 😒 😐 😡 👌 👍 👎 🤢 🤧 🥵 🥶 😵 🤯 😛 😷
Optionen: Deaktiviere HTML in dieser Nachricht
Deaktiviere MATHML in dieser Nachricht. Wenn Dein Text $-Zeichen enthält, die nicht LaTeX-Formeln begrenzen.
Deaktiviere Smilies in dieser Nachricht
Zeige die Signatur (Kann in 'Mein Profil' editiert werden.)
    [Abbrechen]
 
Beachte bitte die [Forumregeln]


Themenübersicht
Bruce94
Aktiv
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 846
Wohnort: Stuttgart

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-05 17:43    [Diesen Beitrag zitieren]

Vielen Dank für eure Antworten! Das hat mir sehr geholfen!🙂


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 5682
Wohnort: Berlin

 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-05 16:31    [Diesen Beitrag zitieren]

Das ist schon richtig so. Jeder zu einem Körper isomorphe Ring ist ebenfalls ein Körper.

Wenn man möchte (aber das ist unnötig umständlich), kann man auch noch direkt zeigen, dass jedes Element von $S \setminus \{0\}$ invertierbar ist, indem du die inverse Matrix in $M_2(\IR)$ hinschreibst und erkennst, dass sie auch in $S$ liegt.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 7438
Wohnort: Rosenfeld, BW

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-05 16:31    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ID}{\mathbb{D}} \newcommand{\IW}{\mathbb{W}}\)
Hallo,

ich sehe nichts, was gegen deinen Weg spricht. Im Fall von 2x2-Matrizen wäre der Nachweis des vollen Rangs mit der Determinante vielleicht nochmal ein Stück weit einfacher.

EDIT:
Natürlich muss man auch noch zeigen, dass die Inverse ebenfalls in \(S\) liegt (Danke, @Triceratops ;-) ).


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Strukturen und Algebra' in Forum 'Körper und Galois-Theorie' von Diophant]
\(\endgroup\)

Bruce94
Aktiv
Dabei seit: 24.05.2015
Mitteilungen: 846
Wohnort: Stuttgart

 Themenstart: 2021-04-05 16:29    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo,

ich stehe vor folgender Aufgabe:
Sei $T$ der Ring der $2 x 2$-Matrizen mit Einträgen in $\mathbb{R}$. Ist $S := \{\left( \begin{array}{rr}
a & b \\
-b & a \\
\end{array}\right) \ \vert \ a,b \ \in \ \mathbb{R}\}$ ein Körper?

Bisher habe ich in den vorherigen Aufgabenteilen gezeigt, dass $S$ ein Teilring von $T$ ist und einen Ring-Isomorphismus von $\mathbb{C}$ nach $S$ konstruiert.

Nun kann ich ja einfach mit Gauß zeigen, dass jedes Element aus $S$ bis auf das neutrale bzgl. der Addition Rang zwei hat und somit invertierbar ist. Damit wäre $S$ ein Körper. Ich denke aber, dass die Aufgabe anders gelöst werden soll. Hat jemand eine Idee?


Liebe Grüße
Bruce


 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]