Antworte auf:  Selbstinverse Funktionen von Kaonashi
Forum:  Funktionen, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
 Beitrag No.10, eingetragen 2021-04-19 19:48    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-19 18:45 - Kezer in Beitrag No. 9 schreibt:
Nein, eine Involution ist ganz allgemein eine selbstinverse Funktion. (Du siehst auch bereits im verlinkten Text, dass nicht nur Permutationen gezeigt werden.)

Nagut, dann sind Permutationen doch nicht so oft gemeint. Gut, dass du das klargestellt hast. Das hat mir weitergeholfen.


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1336
 Beitrag No.9, eingetragen 2021-04-19 18:45    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-19 18:31 - Kaonashi in Beitrag No. 8 schreibt:
2021-04-19 08:18 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Siehe auch Involution.

Damit sind aber meist Permutationen gemeint.

Nein, eine Involution ist ganz allgemein eine selbstinverse Funktion. (Du siehst auch bereits im verlinkten Text, dass nicht nur Permutationen gezeigt werden.)


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
 Beitrag No.8, eingetragen 2021-04-19 18:31    [Diesen Beitrag zitieren]

2021-04-19 08:18 - Kezer in Beitrag No. 3 schreibt:
Siehe auch Involution.

Damit sind aber meist Permutationen gemeint.

2021-04-19 12:22 - Caban in Beitrag No. 5 schreibt:
Es gibt unendlich viele solcher Funktionen, nämlich sämtlich Geraden mit m=-1.

Ja, hast Recht, die habe ich nicht erwähnt. Die sind aber auch nicht wirklich spannend.

\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)2021-04-19 08:31 - Wally in Beitrag No. 4 schreibt:
sollte es bei \( g\) nicht eher \( g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}+\left\lceil x\right\rceil\) heißen?

(Das sollen doch verschobene Viertelkreise sein, oder?)
Wally
\(\endgroup\)

Nö. Es sind zwar verschobene Viertelkreise, aber deine Funktion ist nicht selbstinvers. Sie müsste \( g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}+\left\lceil x\right\rceil -1\) heißen. Aber die ist unstetig. Das mag ich nicht.

2021-04-19 13:05 - MontyPythagoras in Beitrag No. 7 schreibt:
Du kannst sehr einfach solche Funktionen erzeugen, auf implizite Art und Weise.

Das ist eine gute Idee. Deine Kegelschnitte erinnern mich an mein Lieblingsbeispiel $x+y=xy$. Dass die Menge der Zahlenpaare, bei denen Addition und Multiplikation zusammenfallen, eine Funktion ist, braucht wahrscheinlich kein Mensch, ich finde es aber nett. Wenn ich $(0,0)$ rausnehme, ist es äquivalent zu $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} = 1$, was wiederum als Bedingung für die Exponenten in der hölderschen Ungleichung auftritt.


MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 2781
Wohnort: Werne

 Beitrag No.7, eingetragen 2021-04-19 13:05    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo Kaonashi,
Du kannst sehr einfach solche Funktionen erzeugen, auf implizite Art und Weise. In der impliziten Funktion müssen $x$ und $y$ nur vertauschbar sein. Für eine beliebige Funktion $f$ liefert die implizite Definition $f(x+y)=0$ eine Selbstinverse, oder auch $f(xy)=0$, oder $f(\ln x\cdot \ln y)=0$, oder beliebige symmetrische Kombinationen: $f(x+y)+g(xy)=0$. Ob die implizite Darstellung dann nach $y$ aufgelöst werden kann, steht natürlich auf einem anderen Blatt. Wenn $f$ eine gerade Funktion ist, führt auch die Kombination mit $f(x-y)$ zum Ziel.
Deine bisherigen Beispiele lassen sich in eine solche Form überführen:
$y=-x\Leftrightarrow x+y=0$
$y=\frac1x\Leftrightarrow xy-1=0\qquad\forall x,y\neq0$
$y=\frac x{x-1}\Leftrightarrow xy-(x+y)=0\qquad\forall x,y\neq1$
$y=\pm\sqrt{1-x^2}\Leftrightarrow x^2+y^2-1=0$
Auf diese Art und Weise kannst Du also auch leicht andere Selbstinverse konstruieren, z.B.
$x^3+y^3-2=0\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{2-x^3}$
$x^2+xy+y^2-3=0\Leftrightarrow y=-\frac12x\pm\sqrt{3-\frac34x^2}$

Ciao,

Thomas


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2873
 Beitrag No.6, eingetragen 2021-04-19 12:45    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
2021-04-19 02:34 - Kaonashi im Themenstart schreibt:
\[g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}-\left\lceil x\right\rceil \]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Unterscheide die Fälle $x\in \IZ$ und $x\notin \IZ$.
Der erste Fall ist einfach.
Im zweiten sei $n=\lfloor x\rfloor$, also $n < x < n+1$. Kannst du $\lfloor g(x)\rfloor$ und $\lceil g(x) \rceil $ durch $n$ ausdrücken?
Tipp:

Der Wert des Wurzelterms liegt im offenen Intervall $(0,1)$.

\(\endgroup\)

Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 1677
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel

 Beitrag No.5, eingetragen 2021-04-19 12:22    [Diesen Beitrag zitieren]

Hallo

Es gibt unendlich viele solcher Funktionen, nämlich sämtlich Geraden mit m=-1.

Gruß Caban


Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9229
Wohnort: Dortmund, Old Europe

 Beitrag No.4, eingetragen 2021-04-19 08:31    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
sollte es bei \( g\) nicht eher \( g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}+\left\lceil x\right\rceil\) heißen?

(Das sollen doch verschobene Viertelkreise sein, oder?)

Viele Grüße

Wally
\(\endgroup\)

Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1336
 Beitrag No.3, eingetragen 2021-04-19 08:18    [Diesen Beitrag zitieren]

Siehe auch Involution.


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-04-19 02:50    [Diesen Beitrag zitieren]

Eine habe ich noch: \[f\left(x\right)=\frac{x^{2}-3x+2}{2x^{2}-3x+1}\]


nzimme10
Aktiv
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 488
Wohnort: Köln

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-04-19 02:43    [Diesen Beitrag zitieren]

Nicht unbedingt eine direkte Antwort, aber bedenke, dass es im Allgemeinen nicht immer unbedingt möglich ist eine Gleichung der Form $y=f(x)$ elementar in die Form $x=g(y)$ zu überführen.

Selbst bei sehr einfachen Funktionen wie etwa $x\mapsto x^3+3x+1$ kann eine geschlossene Formel der Inversen mitunter sehr kompliziert werden. Manchmal findet man auch einfach keine elementare geschlossene Formel.

LG Nico


Kaonashi
Junior
Dabei seit: 06.07.2020
Mitteilungen: 14
 Themenstart: 2021-04-19 02:34    [Diesen Beitrag zitieren]

Ich mache mir gerade Gedanken zu Funktionen mit der Eingenschaft $f(f(x))=x$. Sofort fallen mir $f(x)=x$ und $f(x)=1/x$ ein. Da solche Funktionen symmetrisch zur ersten Winkelhalbierenden sind, ist mir noch die Viertelkreisfunktion $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ auf dem Intervall $[0;1]$ eingefallen. Weitere Funktionen erhält man durch Verschiebung entlang der ersten Winkelhalbierenden, etwa $f(x)=\frac{x}{x-1}$. Dann wird die Luft aber auch schon dünn.

Mir fallen nur irgendwelche verschobenen oder zusammengestückelten Funktionen wie

\[f(x)=\begin{cases}
x^{2} & \text{für }x\leq0\\
-\sqrt{x} & \text{für }x\geq0
\end{cases}\]
oder \[g\left(x\right)=\sqrt{1-\left(x-\left\lfloor x\right\rfloor \right)^{2}}-\left\lceil x\right\rceil \]
ein. Die Funktion $g$ habe ich mit der geeigneten Symmetrie konstruiert. Es ist mir dann aber nicht so schnell gelungen, durch symbolische Rechnungen zu zeigen, dass sie wirklich selbstinvers ist. Ich habe nach einer Viertel Stunden aufgegeben. Wenn das jemand hinbekommt, würde ich das gerne sehen. Der Grund, warum ich schreibe, ist aber noch ein anderer: Ich suche einfachere selbsinverse Funktionen oder Bildungsvorschriften, wie man neue generieren kann.

MfG
NoFace


 
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