Antworte auf:  Gleichmäßige Konvexität von Lupi98
Forum:  Funktionalanalysis, moderiert von: Curufin epsilonkugel

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Themenübersicht
semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 198
Wohnort: Wien

 Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-13 20:49    [Diesen Beitrag zitieren]
Danke, wünsche einen ebensolchen.🙂 LG, semasch

Lupi98
Junior
Dabei seit: 23.05.2021
Mitteilungen: 14
 Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-13 20:41    [Diesen Beitrag zitieren]
Alles klar! Schönen Abend dir noch! LG, Lucie

semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 198
Wohnort: Wien

 Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-13 20:26    [Diesen Beitrag zitieren]
Ja, genau, wenn du Punkte $x,y \in X$ gefunden hast mit $\|x-y\| \ge \frac{\epsilon}{2}$ und $\bigg\|\frac{x+y}{2}\bigg\| > 1-2\delta$, dann gilt für $\delta' > \delta$ wegen $1-2\delta > 1-2\delta'$ auch $\bigg\|\frac{x+y}{2}\bigg\| > 1-2\delta'$; die Punkte $x,y$ funktionieren also auch für jedes $\delta' > \delta$. LG, semasch

Lupi98
Junior
Dabei seit: 23.05.2021
Mitteilungen: 14
 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-13 13:14    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo semasch! Das hat mir seehr geholfen :) Bin es gerade durchgegangen ! Eine Frage habe ich aber noch: Warum können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass δ<ϵ/4 ? Das liegt doch daran, dass die Ungleichung am Ende dann auch für alle δ>ϵ/4 korrekt ist, nicht wahr? Liebe Grüße und nochmal tausend Dank, Lucie

semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 198
Wohnort: Wien

 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-13 00:37    [Diesen Beitrag zitieren]
Moin Lucie, nehmen wir an, dass es ein $\epsilon > 0$ gibt derart, dass es für alle $\delta > 0$ Punkte $x,y \in X$ mit $\|x\|, \|y\| \le 1$ und $\|x-y\| \ge \epsilon$ gibt so, dass $\|\frac{x+y}{2}\| > 1-\delta$ gilt. Seien also ein Ausnahmewert $\epsilon > 0$ sowie $\delta > 0$ und Punkte $x,y \in X$ wie oben gewählt. Mit der Dreiecksungleichung sieht man, dass der Hinweis gilt, weil $\min(\|x\|,\|y\|) \le 1-2\delta$ im Widerspruch zu $\|\frac{x+y}{2}\| > 1-\delta$ steht. Wir können also von $\min(\|x\|,\|y\|) > 1-2\delta$ ausgehen. Definieren wir $x' := \frac{x}{\|x\|}, y' := \frac{y}{\|y\|}$, dann gilt $\|x'\| = \|y'\| = 1$ und mit der Dreiecksungleichung nach unten \[\|x'-y'\| = \frac{1}{\|x\|}\|x-y-(\|x\|-\|y\|)y'\| \ge \|x-y\|-|\|x\|-\|y\|| \ge \epsilon - 2\delta.\] Beschränken wir uns weiters oBdA. auf $\delta < \frac{\epsilon}{4}$, so gilt also $\|x'-y'\| \ge \frac{\epsilon}{2}$. Schließlich gilt \[\bigg\|\frac{x'+y'}{2}\bigg\| = \frac{1}{\|x\|}\bigg\|\frac{x+y}{2}-\frac{\|y\|-\|x\|}{2}y'\bigg\| \ge \bigg\|\frac{x+y}{2}\bigg\|-\bigg|\frac{\|y\|-\|x\|}{2}\bigg| > 1-2\delta.\] LG, semasch

Lupi98
Junior
Dabei seit: 23.05.2021
Mitteilungen: 14
 Themenstart: 2021-06-12 17:15    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo liebe Mathe-Freunde, ich sitze mal wieder vor meinem Funktionalanalysis Skript und da stoße ich auf eine Aussage zum "Selberüberlegen" von meinem Prof. Wir beschäftigen uns gerade in der Vorlesung mit gleichmäßiger Konvexität und haben dazu auch schon einige Beispiele gemacht. Unsere Definition von gleichmäßiger Konvexität im Skript ist die folgende: (*) Ein normierter Raum X heißt gleichmäßig konvex, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, s.d. für alle x,y∈X mit ||x|| ≤1 und ||y||≤1 gilt: ||x-y|| ≥ ε ⇒ ||(x+y)/2||≤ 1- δ Nun behauptet mein Professor, dass diese Definition von der gleichmäßigen Konvexität äquivalent zu der abgewandelten Aussage (**) ist, in der lediglich gefordert, dass ||x||=||y||=1 (wir müssen also nicht den kompletten Einheitsball in X betrachten). Die Richtung (*)⇒(**) ist natürlich klar, jedoch verstehe ich nicht, wie man auf die Rückrichtung kommt. Dazu hat unser Prof uns den Hinweis gegeben, anzunehmen, dass X nicht gleichmäßig konvex ist, und daraus entsprechend zu folgern, dass (**) nicht gilt. Er meinte auch, dass es nützlich ist, zu bemerken, dass aus ||(x+y)/2||>1- δ folgt, dass ||x||,||y||>1- 2δ. Ich hoffe, jemand kann mir die Augen öffnen und freue mich über eure Antworten :) Liebe Grüße, Lucie

 
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