Antworte auf:  Ungleichung im Hall-Theorem von Math_user
Forum:  Graphentheorie, moderiert von: matroid

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Math_user
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Mitteilungen: 599
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 Beitrag No.6, eingetragen 2021-06-15 16:51    [Diesen Beitrag zitieren]
Alles klar, habe diesen Schritt nicht gesehen.... Ja nun ist alles tipptopp!

Nuramon
Senior
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 Beitrag No.5, eingetragen 2021-06-15 16:48    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Sei $s:=|S|$. Es genügt zu zeigen, dass $ns-s^2 +s \geq n $. Das ist äquivalent zu $ns -s^2 \geq n-s$. Schaffst du den Rest?\(\endgroup\)

Math_user
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 Beitrag No.4, eingetragen 2021-06-15 16:33    [Diesen Beitrag zitieren]
Nun habe ich ja $|S|-|S|^2+|S|n$. Daraus schliesse ich aber, dass $|S|n-|S|^2\geq 0$ ist aber dies ist zu grob geschätzt... EDIT: Ich kann machen was ich will, ich komme immer an einem Punkt wo ich $|S|\geq n$ brache und dies ja falsch...

Nuramon
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 Beitrag No.3, eingetragen 2021-06-15 15:57    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Multipliziere aus und teste dann mit Äquivalenzumformungen, ob der Ausdruck $\geq n$ ist.\(\endgroup\)

Math_user
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 Beitrag No.2, eingetragen 2021-06-15 15:51    [Diesen Beitrag zitieren]
Vielen Dank für deine Antwort aber ich komme noch nicht zum Schluss.. Wir haben nun: $$|S|(n-|N(S)|) \geq |S|(1-|S|+n)$$ Aber ich sehe noch nicht das Ende...

Nuramon
Senior
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 Beitrag No.1, eingetragen 2021-06-15 14:54    [Diesen Beitrag zitieren]
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, $|N(S)|< |S|$ ist äquivalent zu $|N(S)|\leq |S|-1$. Wenn du das in die zu zeigende Ungleichung einsetzt, dann folgt die Behauptung durch einfache Umformungen.\(\endgroup\)

Math_user
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 Themenstart: 2021-06-15 14:21    [Diesen Beitrag zitieren]
Hallo zusammen Ich beschäftige mich mit dem Hall-theorem in der Graphtheorie und möchte gerne zeigen, dass folgendes gilt: $$|𝑁(𝑆)|<|𝑆| \Rightarrow |𝑆|(𝑛−|𝑁(𝑆)|) \geq n$$ Dabei ist $S \subset X$ und $N(S) \subset Y$. Weiter ist $|X|=|Y|=n$. (Also folgt $|N(S)|< |S| \leq n$). Obwohl es eigentlich nicht schwer sein sollte, scheitere ich schon seit Stunden... Kann mir jemand weiterhelfen?

 
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